Nadal y Del Potro juegan al tenis con taquiones

Al hilo del último apunte en el que veíamos cómo la noción de simultaneidad es relativa y depende del observador, vamos a centrarnos ahora en la relación entre la velocidad de la luz y los viajes en el tiempo. Concretamente vamos a ver por qué superar la velocidad de la luz supone un viaje hacia atrás en el tiempo. En primer lugar, hay que insistir en que al referirnos a la velocidad de la luz estamos indicando la constante física c, que indica la velocidad -medida localmente por cualquier observador- a la que partículas sin masa se desplazan por el vacío. Esto es, ni se trata de ser más rápido que la luz en un medio material cualquiera, ni los fotones tienen algo especial a los efectos que nos ocupan que no tengan otras partículas sin masa.

Dicho esto, lo primero que hay que preguntarse cuando se habla de superar la velocidad de la luz es en qué sistema de referencia se mide dicha velocidad. No hay sistemas de referencia absolutos, por lo que la medición de velocidad no tiene sentido si no se da esa información adicional. A partir de ahí, podemos analizar qué efecto tendría ese desplazamiento a velocidad superlumínica en otros sistemas de referencia en movimiento relativo con el primero. Vamos a verlo con un experimento mental: estamos en la final de la Copa Davis entre Argentina y España, y el equipo local lo ha preparado todo para un juego rápido: pista de moqueta sintética y pelotas de taquiones. Estas pelotas tienen la propiedad de poder superar la velocidad de la luz en el sistema de referencia de la raqueta que las golpea. En el primer partido tenemos a Del Potro al servicio, y a Nadal al resto. En previsión del saque que se avecina, Nadal retrocede a velocidad v. Del Potro se dispone a sacar, bota la pelota, y … punto para Rafa Nadal. Veámoslo en un diagrama:

Nadal y Del Potro juegan al tenis con taquiones

Vamos a suponer por simplicidad que la velocidad de la pelota taquiónica es infinita en el marco de referencia de la raqueta, es decir, llega a su destino instantáneamente. El saque de Del Potro es el evento A, simultáneo en su sistema de referencia con el evento B (la pelota llega a Nadal). Este devuelve la bola a velocidad infinita en su propio sistema de referencia, con lo que llega a Del Potro (evento C) ¡antes de que éste hubiera realizado el saque! De manera cuantitativa: Del Potro saca en el instante t según su reloj, y Nadal recibe la pelota en ese mismo momento según el primero. Dado que según Del Potro Nadal está en movimiento y el tiempo avanza más lentamente para él, cuando para el primero han pasado t segundos para Nadal han transcurrido t‘=t/γ. Nadal está de acuerdo en que recibe la pelota y devuelve el resto en t‘=t/γ, y puede razonar de manera simétrica para determinar cuándo llega la pelota del vuelta a Del Potro, ya que para él es este último el que se mueve. Así cuando en el reloj de Nadal es t‘=t/γ, para Del Potro han pasado t»=t‘/γ=t/γ²<t segundos. Por lo tanto, su resto llega a Del Potro antes de que éste sacara.

Añadamos a esto que si la sorpresa de recibir el resto impide a Del Potro realizar el saque, acabamos de construir una paradoja temporal, de esas que tanto nos dan que pensar. El corolario sería que hay que jugar en tierra batida con pelotas ordinarias para evitar que el espacio-tiempo colapse, pero nos desviamos del tema. Este retroceso en el tiempo desde el punto de vista de algunos observadores es inevitable cuando se produce influencia causal entre dos eventos A y B con separación de tipo espacio, ya que hay sistemas de referencia en los que A es anterior a B y viceversa (además de sistemas de referencia en los que A y B son simultáneos). No se trata de ningún tipo de efecto visual debido al desplazamiento superlumínico, sino de una genuina inversión cronológica, que no sólo puede hacer que en un cierto sistema de referencia el efecto anteceda a la causa, sino que podría dar lugar a que el observador interfiriera con esta última después de producido el efecto, abriendo la puerta a paradojas causales. En el marco de la relatividad especial no es posible en cualquier caso construir líneas de universo de tipo espacio, por lo que este tipo de paradojas estaría excluido. Las cosas no son sin embargo tan simples si nos movemos a la relatividad general, pero eso es ya otra guerra.

Relatividad especial, simultaneidad y paradojas: Minkowski al rescate

Siguiendo con la serie sobre el espacio-tiempo de Minkowski, y antes de adentrarnos en los vericuetos de los espacios-tiempos curvos, vamos a ver un par de pinceladas más de cómo esta interpretación geométrica nos puede ayudar a entender algunos aspectos anti-intuitivos de la relatividad especial. Consideremos por ejemplo las diferentes «paradojas» que parecen surgir dentro de la teoría (la de los gemelos, la de la escalera en el granero, etc.). Dichas paradojas brotan de intentar combinar la idea clásica del espacio y el tiempo separados y absolutos -muy arraigada en nuestro subconsciente- con la del espacio-tiempo unificado con geometría minkowskiana. Tal como puede verse en el primer diagrama que empleamos para representar los sistemas de referencia de dos observadores en movimiento relativo, el espacio y el tiempo de uno son una mezcla del espacio y el tiempo del otro, y viceversa. Esto conlleva entre otras cosas que la noción de simultaneidad sea relativa a cada observador, tal como se ve en la imagen inferior.

Percepción relativa de simultaneidad por parte de observadores en movimiento relativo

Esta relatividad de la simultaneidad es un ingrediente esencial de muchas de las paradojas, ya que a la postre indica que la ordenación temporal relativa de dos eventos depende del observador. Por ejemplo, los eventos A y B en la imagen superior son simultáneos para O, pero para O’ A es posterior a B. Del mismo modo, C y D son simultáneos para O’, pero C es anterior a D para O. Finalmente, F es un evento anterior a E desde el punto de vista de O, pero para O’ es precisamente al contrario. Esto -unido a la velocidad finita de transmisión de las señales- permite entender muchas paradojas, como por ejemplo la del mosquito y el remache, que ya tratamos hace algún tiempo: desde el punto de vista del remache primero se produce el impacto en el fondo del orificio, y luego la cabeza choca contra la pared, mientras que para el mosquito el orden de los eventos es el inverso.

Otra paradoja muy relacionada es la de la escalera en el granero: tenemos una escalera de longitud L₁ y una granero de longitud L₂ (distancias medidas cuando están en reposo el uno con respecto al otro), siendo L₁ > L₂. Nos movemos a velocidad v hacia el granero, y desde el punto de vista de un observador en reposo dentro del mismo, el tamaño de la escalera es L‘₁ = L₁/γ < L₁, donde

es el factor de Lorentz. A una velocidad lo suficientemente cercana a la de la luz, L‘₁ < L₂, por lo que este observador considerará que hay un instante en el que la escalera está totalmente contenida en el granero (para recalcar más este hecho, podemos imaginar que pulsa un botón que durante un instante cierra y luego abre la puerta delantera y la trasera del granero de manera simultánea, con lo que la escalera está efectivamente encerrada dentro del granero). Sin embargo, desde el punto de vista de la escalera el granero tiene una longitud L‘₂ = L₂/γ < L₂ < L₁, por lo que nunca podrá estar totalmente dentro del granero. Para este segundo observador, el extremo delantero de la escalera sale por la parte de atrás del granero antes de que la parte trasera haya entrado. Si en el diagrama anterior A y B representan el cierre de la puerta delantera y el cierre de la puerta trasera respectivamente (simultáneos para el observador en reposo en el granero), puede verse que al trazar la línea de simultaneidad para O‘ -la escalera- de  A (la puerta delantera se cierra), el evento B (la puerta trasera se cierra) es anterior.

Para resolver otra aparente paradoja como la célebre de los gemelos, no necesitamos hacer uso ni siquiera de la noción de simultaneidad, ya que como Villa indicaba en este hilo de comentarios, nos basta con recurrir a la propia geometría del espacio-tiempo. Si uno de los hermanos viaja a velocidad v hasta una distancia d=vt y vuelve a la misma velocidad (suponemos velocidad constante por simplicidad, pero realmente no es imprescindible), siempre desde el punto de vista del observador en la Tierra, el trayecto espacio-temporal A_[0,0] → C_[t,d] → B_[2t,0] del viajero tiene longitud

i.e., , mientras que el suyo en reposo en la Tierra (A → B) es

por lo que t_AB=2t. Dada la invariancia del intervalo espacio-temporal, el viajero mide lo mismo (véase aquí una resolución algebraica). Ambos concluyen por lo tanto que el viajero ha envejecido menos.

El próximo día seguiremos sacándole punta a esta relatividad de la simultaneidad, y veremos cómo superar la velocidad de la luz en algún sistema de referencia puede producir paradojas causales.

El espacio-tiempo de Minkowski en una cáscara de nuez (II)

La pequeña incursión en el espacio-tiempo de Minkowski que comenzamos hace un par de días nos llevó hasta el concepto de métrica. Mediante ésta se pueden medir distancias entre eventos y ángulos entre vectores en el espacio-tiempo. En el caso minkowskiano, dicha métrica difiere de la del espacio euclídeo en que el componente temporal tiene signo diferente a las dimensiones espaciales, lo que tiene consecuencias profundas en las propiedades del espacio-tiempo.

En primer lugar, vimos como en nuestro sistema de referencia en reposo, los ejes t’ y x’ de un observador en movimiento relativo con nosotros no forman un ángulo de 90º, a pesar de lo cual siguen siendo ortogonales. Es fácil verlo, ya que cualquier vector a lo largo del eje t’ tiene en el sistema de referencia de O la forma (t₁, vt₁) para un algún valor de t₁, y del mismo modo cualquier vector a lo largo del eje x’ tiene la forma (vt₂, t₂). Por lo tanto, su producto interno es –t₁vt₂+vt₁t₂=0. Por supuesto, en O’ se da la misma situación, ya que cualquier vector a lo largo de t‘ tiene la forma (t‘,0), y cualquier vector a lo largo de x‘ tiene la forma (0, x‘). De hecho, el resultado de este producto interno es el mismo en cualquier sistema de referencia, lo que es una de las grandes ventajas de este marco de trabajo. Al estar operando con objetos de naturaleza geométrica, expresiones tales como G(r,s) son independientes del sistema de referencia que estemos considerando (un vector y en general un tensor se representará de manera diferente en distintos sistemas de coordenadas, pero el objeto geométrico es siempre el mismo).

Esta invariancia es especialmente importante cuando se mide la distancia entre eventos del espacio-tiempo. Consideremos dos eventos A y B, y un vector s que los une. En el espacio euclídeo tenemos G(s,s)=s², esto es, un valor positivo que representa el módulo al cuadrado del vector s. Sin embargo, en el espacio-tiempo de Minkowski esta cantidad puede tomar un valor negativo. Dicha cantidad sigue representando no obstante una distancia o una separación entre puntos del espacio-tiempo, y dependiendo de su signo puede ser de tres tipos:

• Si s²>0 tenemos dos puntos del espacio-tiempo con separación de tipo espacio. Lo que ocurra en uno de estos eventos no influirá causalmente en el otro, ya que la pendiente m de la recta que los une verifica 1/m>1 (i.e., haría falta comunicación a velocidad superlumínica para transportar dicha influencia causal – aquí cabría hacer algún comentario sobre la paradoja EPR, pero lo dejamos para mejor ocasión).
• Si s²<0 tenemos dos puntos del espacio-tiempo con separación de tipo tiempo. Un observador podría desplazarse entre los mismos, esto es, uno de los eventos estaría en el cono de luz futuro del otro.
• Si s²=0 tenemos dos puntos con separación de tipo nulo. Además del caso trivial en el que los dos puntos coincidan, esta separación indica que un rayo de luz puede conectar ambos eventos.

En la figura inferior se muestra la situación relativa de estos eventos con respecto a un observador. Todos los eventos cuya separación con respecto a dicho observador es de tipo tiempo están dentro de su cono de luz (futuro o pasado cronológico). La frontera del cono de luz la forman precisamente los eventos con separación de tipo nulo, y su unión con el futuro/pasado cronológico define el futuro/pasado causal.

Estructura del espacio-tiempo de Minkowski

Estos intervalos espacio-temporales tienen además una interpretación muy relevante. Una separación de tipo tiempo representa el tiempo propio experimentado por un observador que se desplaza entre dichos eventos. Del mismo modo, una separación de tipo espacio representa la distancia medida por la regla de un observador en el que ambos eventos son simultáneos. Todo esto es sumamente interesante, ya que nos permite derivar las transformaciones de Lorentz. Por ejemplo, consideremos un observador que se desplaza a velocidad v con respecto a nosotros. Sincronizamos nuestros relojes cuando nos cruzamos, y vemos que tras un tiempo t en nuestro reloj, el otro observador está en x=vt. Para este segundo observador habrá pasado un tiempo t’ y el no habrá percibido movimiento (i.e., x‘=0). Dada la invariancia del intervalo espacio-temporal tenemos que –t²+v²t²=-t‘², o lo que es lo mismo tras despejar, t‘=t(1-v²)^1/2. Hemos obtenido la dilatación temporal, y razonando de manera análoga podemos obtener la dilatación espacial. Chachi, ¿verdad?

El espacio-tiempo de Minkowski en una cáscara de nuez

Hace un par de días celebrábamos el centenario del nacimiento del concepto de espacio-tiempo, y de su presentación en sociedad por parte de Hermann Minkowski. Gracias a él, la relatividad especial de Einstein se dotó de una interpretación geométrica sumamente poderosa y elegante, que además de permitir reconciliar las percepciones aparentemente paradójicas de diferentes observadores, fue el punto de partida para la generalización de la teoría. Existen diferentes formas de definir el espacio-tiempo de Minkowski de manera formal, pero para simplificar vamos a ver una aproximación más cualitativa.

Empecemos por considerar la perspectiva de un cierto observador O, que vamos a representar en un diagrama en el que el eje vertical t es el tiempo, y el eje horizontal x es el espacio (como es habitual, supondremos por simplicidad en el diagrama que hay una única dimensión espacial). Si elegimos unidades en las que la velocidad de la luz es c=1, un pulso de luz que se aleja de O se representaría mediante una diagonal de 45º, bisectriz del ángulo formado por los ejes t y x, como se ve en la figura inferior (la línea amarilla punteada representa el pulso de luz).

Imaginemos ahora un segundo observador O‘ en estado de movimiento uniforme relativo con respecto a O. Su trayectoria se representaría según este último como la recta t’, que formaría un ángulo menor de 45º con t, por tratarse de una trayectoria a velocidad inferior a la de la luz. Es fácil ver de hecho que la pendiente de esta recta es 1/v. Este segundo observador se percibirá a sí mismo en reposo, por lo que su trayectoria representa la recta x’=0, o lo que es lo mismo, el eje de tiempo en su sistema de referencia. Dado que la velocidad de la luz es la misma para todos los observadores, la trayectoria del pulso de luz también será bisectriz del ángulo formado por t’ y x’, lo que nos da la posición de este último eje. Su pendiente será precisamente v, la velocidad de O‘ relativa a O. Puede parecer sorprendente en primera instancia que los ejes t’ y x’ no formen un ángulo de 90º tal y como t y x, pero hay que recordar que no estamos en el espacio euclídeo al que estamos acostumbrados, sino en un espacio con una geometría diferente. De hecho, en un sentido profundo t’ y x’ son ortogonales, de la misma manera que t y x, aunque para constatar esto necesitamos un elemento adicional: la métrica.

Intuitivamente, la métrica es el mecanismo que empleamos para medir distancias entre puntos del espacio-tiempo. Matemáticamente se trata de un tensor G de tipo (0,2), esto es, de una función lineal en sus dos parámetros, que toma dos vectores y devuelve un número real. Dicho valor real G(r,s) es precisamente el producto interno de los vectores r y s, y en un cierto sistema de referencia puede expresarse como

donde g_αβ, r^α, y s^β son los componentes en dicho sistema de referencia del tensor métrico G y de los vectores r y s respectivamente (normalmente se emplea en estos casos una notación más cómoda en la que los sumatorios están implícitos cuando se da una cierta coincidencia entre sub- y superíndices). Puede verse que en el espacio euclídeo al que estamos más acostumbrados, la métrica se expresaría en un sistema de referencia ortonormal como una matriz identidad, es decir, g_αβ=1 si α=β, y g_αβ=0 en otro caso. De esa manera, recuperamos el producto escalar en la forma bien conocida:

.

En el espacio-tiempo de Minkowski la métrica es muy similar, y únicamente hay una diferencia: uno de los elementos de la diagonal (el que corresponde con la dimensión temporal) tiene signo distinto al resto de elementos (las dimensiones espaciales). Vamos a suponer que dicho signo es negativo (sin pérdida de generalidad, ya que es equivalente suponer lo contrario). Hablamos entonces de signatura (­-+++). El próximo día consideraremos las implicaciones de esta métrica, y cómo las transformaciones de Lorentz pueden obtenerse a partir de la misma.

100 Años del Espacio-Tiempo de Minkowski

Hermann Minkowski (1864 - 1909)

«Las ideas del espacio y el tiempo que deseo exponer ante Vds. han brotado del suelo de la física experimental, y ahí reside su fuerza. Son radicales. En lo sucesivo el espacio por sí mismo, y el tiempo por sí mismo están condenados a desvanecerse en meras sombras, y sólo un tipo de unión de ambos mantendrá una realidad independiente.«

Hermann Minkowski, 21 de septiembre de 1908

Tal día como hoy hace exactamente 100 años Hermann Minkowski, profesor de Matemáticas en la Universidad de Gotinga, se dirigió a la 80ª Asamblea de Físicos y Científicos Naturales Alemanes y pronunció las palabras anteriores. Había nacido el concepto del espacio-tiempo.

Minkowski, matemático alemán de origen judeo-polaco nacido en Lituania (Europa era un lugar divertido en aquella época, crisol de culturas and all the fish), tuvo siempre a la geometría como su área de trabajo fundamental, por lo que no es de extrañar que fuera él el que diera el paso decisivo para dotar de interpretación geométrica a la Relatividad Especial. Curiosamente, el propio Einstein no supo apreciar inicialmente el valor de esta interpretación, y la consideró como poco más que una reformulación artificiosamente compleja de los principios de la Relatividad. Visto con retrospectiva, resulta interesante que en aquellos primeros años Einstein no valorara en su justo grado la elegancia y la simplicidad del espacio-tiempo de Minkowski. Es posible que además de un cierto anhelo -sui generis, habría que decir- de mantener las cosas sencillas, Einstein no fuera del todo ajeno a la impresión personal que de Minkowski tenía. Hay que recordar que éste fue uno de sus profesores en el Politécnico de Zurich, y que como con muchos otros docentes del ETH, su relación con él durante los estudios no fue buena. De hecho, cuando Minkowski tuvo conocimiento por primera vez del trabajo de Einstein en relación a la Relatividad Especial le comentó a Max Born:

«Ah, ¿Einstein? Siempre se saltaba las clases. Nunca le hubiera creído capaz de esto.«

Sin embargo, hay que poner en el haber de Minkowski que -a diferencia de otros profesores- no sólo llegara a aceptar y trabajar en los postulados de Einstein, sino que descubriera una visión de la Relatividad Especial -el espacio-tiempo plano y absoluto- que unos años más tarde sería la base de partida de Einstein para la incorporación de la gravedad en la teoría, y el consiguiente desarrollo de la Relatividad General. Esto ocurría a partir de 1912, pero Minkowski no vivió para verlo. Una apendicitis fulminante acabó con su vida a la edad de 44 años en 1909. Su legado es sin embargo imperecedero, y si el tiempo y la autoridad lo permiten, volverá a estas páginas en los próximos días.