La Singularidad Desnuda

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El espacio-tiempo de Minkowski en una cáscara de nuez (II)

Posted by Carlos en septiembre 26, 2008

La pequeña incursión en el espacio-tiempo de Minkowski que comenzamos hace un par de días nos llevó hasta el concepto de métrica. Mediante ésta se pueden medir distancias entre eventos y ángulos entre vectores en el espacio-tiempo. En el caso minkowskiano, dicha métrica difiere de la del espacio euclídeo en que el componente temporal tiene signo diferente a las dimensiones espaciales, lo que tiene consecuencias profundas en las propiedades del espacio-tiempo.

En primer lugar, vimos como en nuestro sistema de referencia en reposo, los ejes t’ y x’ de un observador en movimiento relativo con nosotros no forman un ángulo de 90º, a pesar de lo cual siguen siendo ortogonales. Es fácil verlo, ya que cualquier vector a lo largo del eje t’ tiene en el sistema de referencia de O la forma (t1, vt1) para un algún valor de t1, y del mismo modo cualquier vector a lo largo del eje x’ tiene la forma (vt2, t2). Por lo tanto, su producto interno es –t1vt2+vt1t2=0. Por supuesto, en O’ se da la misma situación, ya que cualquier vector a lo largo de t‘ tiene la forma (t‘,0), y cualquier vector a lo largo de x‘ tiene la forma (0, x‘). De hecho, el resultado de este producto interno es el mismo en cualquier sistema de referencia, lo que es una de las grandes ventajas de este marco de trabajo. Al estar operando con objetos de naturaleza geométrica, expresiones tales como G(r,s) son independientes del sistema de referencia que estemos considerando (un vector y en general un tensor se representará de manera diferente en distintos sistemas de coordenadas, pero el objeto geométrico es siempre el mismo).

Esta invariancia es especialmente importante cuando se mide la distancia entre eventos del espacio-tiempo. Consideremos dos eventos A y B, y un vector s que los une. En el espacio euclídeo tenemos G(s,s)=s2, esto es, un valor positivo que representa el módulo al cuadrado del vector s. Sin embargo, en el espacio-tiempo de Minkowski esta cantidad puede tomar un valor negativo. Dicha cantidad sigue representando no obstante una distancia o una separación entre puntos del espacio-tiempo, y dependiendo de su signo puede ser de tres tipos:

  • Si s2>0 tenemos dos puntos del espacio-tiempo con separación de tipo espacio. Lo que ocurra en uno de estos eventos no influirá causalmente en el otro, ya que la pendiente m de la recta que los une verifica 1/m>1 (i.e., haría falta comunicación a velocidad superlumínica para transportar dicha influencia causal – aquí cabría hacer algún comentario sobre la paradoja EPR, pero lo dejamos para mejor ocasión).
  • Si s2<0 tenemos dos puntos del espacio-tiempo con separación de tipo tiempo. Un observador podría desplazarse entre los mismos, esto es, uno de los eventos estaría en el cono de luz futuro del otro.
  • Si s2=0 tenemos dos puntos con separación de tipo nulo. Además del caso trivial en el que los dos puntos coincidan, esta separación indica que un rayo de luz puede conectar ambos eventos.

En la figura inferior se muestra la situación relativa de estos eventos con respecto a un observador. Todos los eventos cuya separación con respecto a dicho observador es de tipo tiempo están dentro de su cono de luz (futuro o pasado cronológico). La frontera del cono de luz la forman precisamente los eventos con separación de tipo nulo, y su unión con el futuro/pasado cronológico define el futuro/pasado causal.

Estructura del espacio-tiempo de Minkowski

Estructura del espacio-tiempo de Minkowski

Estos intervalos espacio-temporales tienen además una interpretación muy relevante. Una separación de tipo tiempo representa el tiempo propio experimentado por un observador que se desplaza entre dichos eventos. Del mismo modo, una separación de tipo espacio representa la distancia medida por la regla de un observador en el que ambos eventos son simultáneos. Todo esto es sumamente interesante, ya que nos permite derivar las transformaciones de Lorentz. Por ejemplo, consideremos un observador que se desplaza a velocidad v con respecto a nosotros. Sincronizamos nuestros relojes cuando nos cruzamos, y vemos que tras un tiempo t en nuestro reloj, el otro observador está en x=vt. Para este segundo observador habrá pasado un tiempo t’ y el no habrá percibido movimiento (i.e., x‘=0). Dada la invariancia del intervalo espacio-temporal tenemos que –t2+v2t2=-t2, o lo que es lo mismo tras despejar, t‘=t(1-v2)1/2. Hemos obtenido la dilatación temporal, y razonando de manera análoga podemos obtener la dilatación espacial. Chachi, ¿verdad?

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6 comentarios to “El espacio-tiempo de Minkowski en una cáscara de nuez (II)”

  1. zild said

    ¡¡¡Chachi!!!

  2. espaidual said

    muy buen trabajo carlos!

    creo que has conseguido el escurridizo equilibrio entre la lectura llana y el suficiente formalismo matemático para no parecer esoterismo. Es muy díficil encontrar textos divulgativos que cumplan ambos.

    De cara a posteriores entradas te recomiendo el paquete de LaTeX para WordPress. Es maravillosamente útil para escribir equaciones.

    http://faq.wordpress.com/2007/02/18/can-i-put-math-or-equations-in-my-posts/

    Quizas solo te faltó concluir que en cualquier punto del espacio para cualquier sistema de referencia siempre se pueden hallar unas cordenadas riemannianas validas en un entorno local. Y de ahí la trascendencia del espacio tiempo de Minkowski.

  3. Carlos said

    ¡Muchas gracias!

    LaTeX es ciertamente genial para las ecuaciones. Totalmente de acuerdo además con tu comentario sobre la validez local del espacio-tiempo de Minkowski. Es una de las claves para dar el salto a la Relatividad General. Tengo idea de seguir la serie con los agujeros negros y la métrica de Schwarzschild, así que volveremos al tema. 🙂

  4. […] por Carlos en Octubre 27, 2008 Siguiendo con la serie sobre el espacio-tiempo de Minkowski, y antes de adentrarnos en los vericuetos de los espacios-tiempos curvos, vamos a ver un par de […]

  5. […] -a diferencia de las transformaciones galileanas- en las mismas el carácter de las trayectorias de tipo nulo (las trazadas por partículas sin masa) se mantiene en todos los sistemas de referencia (mientras […]

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