La Singularidad Desnuda

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El espacio-tiempo de Minkowski en una cáscara de nuez

Posted by Carlos en septiembre 24, 2008

Hace un par de días celebrábamos el centenario del nacimiento del concepto de espacio-tiempo, y de su presentación en sociedad por parte de Hermann Minkowski. Gracias a él, la relatividad especial de Einstein se dotó de una interpretación geométrica sumamente poderosa y elegante, que además de permitir reconciliar las percepciones aparentemente paradójicas de diferentes observadores, fue el punto de partida para la generalización de la teoría. Existen diferentes formas de definir el espacio-tiempo de Minkowski de manera formal, pero para simplificar vamos a ver una aproximación más cualitativa.

Empecemos por considerar la perspectiva de un cierto observador O, que vamos a representar en un diagrama en el que el eje vertical t es el tiempo, y el eje horizontal x es el espacio (como es habitual, supondremos por simplicidad en el diagrama que hay una única dimensión espacial). Si elegimos unidades en las que la velocidad de la luz es c=1, un pulso de luz que se aleja de O se representaría mediante una diagonal de 45º, bisectriz del ángulo formado por los ejes t y x, como se ve en la figura inferior (la línea amarilla punteada representa el pulso de luz).

Imaginemos ahora un segundo observador O en estado de movimiento uniforme relativo con respecto a O. Su trayectoria se representaría según este último como la recta t’, que formaría un ángulo menor de 45º con t, por tratarse de una trayectoria a velocidad inferior a la de la luz. Es fácil ver de hecho que la pendiente de esta recta es 1/v. Este segundo observador se percibirá a sí mismo en reposo, por lo que su trayectoria representa la recta x’=0, o lo que es lo mismo, el eje de tiempo en su sistema de referencia. Dado que la velocidad de la luz es la misma para todos los observadores, la trayectoria del pulso de luz también será bisectriz del ángulo formado por t’ y x’, lo que nos da la posición de este último eje. Su pendiente será precisamente v, la velocidad de O relativa a O. Puede parecer sorprendente en primera instancia que los ejes t’ y x’ no formen un ángulo de 90º tal y como t y x, pero hay que recordar que no estamos en el espacio euclídeo al que estamos acostumbrados, sino en un espacio con una geometría diferente. De hecho, en un sentido profundo t’ y x’ son ortogonales, de la misma manera que t y x, aunque para constatar esto necesitamos un elemento adicional: la métrica.

Intuitivamente, la métrica es el mecanismo que empleamos para medir distancias entre puntos del espacio-tiempo. Matemáticamente se trata de un tensor G de tipo (0,2), esto es, de una función lineal en sus dos parámetros, que toma dos vectores y devuelve un número real. Dicho valor real G(r,s) es precisamente el producto interno de los vectores r y s, y en un cierto sistema de referencia puede expresarse como

{\mathbf G}({\mathbf r}, {\mathbf s}) = \sum_{\alpha,\beta}g_{\alpha\beta}r^{\alpha}s^{\beta}

donde gαβ, rα, y sβ son los componentes en dicho sistema de referencia del tensor métrico G y de los vectores r y s respectivamente (normalmente se emplea en estos casos una notación más cómoda en la que los sumatorios están implícitos cuando se da una cierta coincidencia entre sub- y superíndices). Puede verse que en el espacio euclídeo al que estamos más acostumbrados, la métrica se expresaría en un sistema de referencia ortonormal como una matriz identidad, es decir, gαβ=1 si α=β, y gαβ=0 en otro caso. De esa manera, recuperamos el producto escalar en la forma bien conocida:

{\mathbf r}\cdot{\mathbf s} = \sum_{\alpha}r^{\alpha}s^{\alpha}.

En el espacio-tiempo de Minkowski la métrica es muy similar, y únicamente hay una diferencia: uno de los elementos de la diagonal (el que corresponde con la dimensión temporal) tiene signo distinto al resto de elementos (las dimensiones espaciales). Vamos a suponer que dicho signo es negativo (sin pérdida de generalidad, ya que es equivalente suponer lo contrario). Hablamos entonces de signatura (­-+++). El próximo día consideraremos las implicaciones de esta métrica, y cómo las transformaciones de Lorentz pueden obtenerse a partir de la misma.

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5 comentarios to “El espacio-tiempo de Minkowski en una cáscara de nuez”

  1. Fer said

    Gracias por esta continuación, Carlos.
    Espero con anhelo la siguiente entrega.

  2. […] El espacio-tiempo de Minkowski en una cáscara de nuez […]

  3. […] geometría minkowskiana. Tal como puede verse en el primer diagrama que empleamos para representar los sistemas de referencia de dos observadores en movimiento relativo, el espacio y el tiempo de uno son una mezcla del espacio y el tiempo del otro, y viceversa. Esto […]

  4. ¿Pero el universo de Minkowski es real?… ¿O es un universo imginario? Respecto a la realidad física ver mi artícilo en Simbiotica (http://simbiotica.wordpress.com/). Saludos

  5. […] el primer centenario del nacimiento del concepto de espacio-tiempo, y aprovechando la efemérides hablamos un poco acerca de la geometría minkowskiana, y de cómo nos permite entender de manera muy intuitiva las […]

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