La Singularidad Desnuda

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La Paradoja de Smale en vídeo: Eversión de una esfera

Posted by Carlos en noviembre 6, 2007

La paradoja de Smale es uno de los resultados más sorprendentes del área de la topología diferencial. Básicamente afirma que es posible tomar una esfera y evertirla (volverla del revés, haciendo que la superficie interior sea la exterior y viceversa) mediante transformaciones suaves que ni desgarran ni crean “arrugas” (bucles plegados infinitesimalmente) en la misma. Aunque se permite que la esfera se atraviese a sí misma, los requisitos de que no se puedan hacer desgarros ni arrugas hacen que parezca imposible realizar la eversión, y de ahí la aparente paradoja, ya que ésta sí es posible, tal como Steve Smale demostró en su tesis doctoral (para gran sorpresa inicial de Raoul Bott, su supervisor) en 1957.

La demostración de Smale no era sin embargo constructiva, sino sólo de existencia. Habría que esperar a 1961 para que Arnold Shapiro desarrollara la primera eversión explícita. Un método distinto y más general fue propuesto a mediados de los 70s por Bill Thurston. El procedimiento no es trivial de visualizar, pero el vídeo que se incluye más abajo lo muestra paso a paso con detalle, y hace uso de analogías simples para entender cómo se realiza, empezando por mostrar la eversión de curvas simples en el plano, y el concepto de número de giros (turning number). Este concepto explica cómo es imposible realizar la eversión de un círculo, y cómo sorprendentemente no hay obstáculo en una esfera. Es realmente un vídeo brillante y didáctico. Está en inglés, pero es posible acceder al guión escrito del mismo aquí. Para no perdérselo.

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15 comentarios to “La Paradoja de Smale en vídeo: Eversión de una esfera”

  1. odo said

    Impresionante, simplemente impresionante 🙂

    He visto un buen trozo y me ha encantado. Tengo que sentarme con calma y verlo con detalle.

  2. Bufón said

    Genial. Me lo he visto entero y, al final, (casi) tenía ganas de volver a sentarme delante de un libro de Topología.

    Felicidades por ese añito recien cumplido. Te llevo “observando” casi desde el principio y tu blog se encuentra entre mis favoritos desde que lo conocí.

  3. Marlowe:PI said

    Buenísimo

  4. Carlos said

    @Odo: ¿verdad que sí, que es impresionante? Son 21 minutos y pico, pero merece la pena verlo con tranquilidad. Saludos.

  5. Carlos said

    @Bufón: ¡Gracias! Ya sabes que la observación cambia siempre lo observado, Heisenberg dixit 😉 Saludos.

  6. judas said

    No he podido reprimir varios gritos de asombro al ver la acción del video!!!

    Es sencillamente espectacular.

    Topologic powa!!

  7. Fer said

    No todos los días se va uno a la cama con una sensación de absoluta maravilla. Gracias, Carlos, por enriquecernos.

  8. Carlos said

    @Judas: Topology rules the Universe!

  9. Carlos said

    @Fer: muchas gracias por tu comentario. Saludos.

  10. Creo que el hecho de que 21 minutos se te pasen volando viendo un vídeo de topología indica que soy (somos) muy friqui(s), pero también da cuenta de la calidad didáctica y gráfica del vídeo.

    ¡Muchísimas gracias!

  11. […] La Paradoja de Smale en vídeo: Eversión de una esfera « La Singularidad Desnuda La Singularidad Desnuda recoge uno de los mejores vídeos didácticos que jamás haya visto, sobre un tema a veces difícil como la topología. Pero aparte de recoger el vídeo, enlaza a su transcripción, y recuerda la historia de la Paradoja de Smale. U (tags: sphere eversion video) […]

  12. Carlos said

    Gracias, Juan de Dios. Es increíble lo bien que explica el vídeo un tema a veces tan abstracto. Para quitarse el sombrero.

  13. canicue said

    me voy a estudiar topologia!!!

  14. Sebastian said

    Los links al video no funcionan.

  15. Carlos said

    Sebastián, acabo de probarlo y va bien. Puedes encontrarlo de todas formas en Google video, haciendo una búsqueda de “Outside In”.

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