La Singularidad Desnuda

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La paradoja de los gemelos y las transformaciones de Lorentz

Posted by Carlos en mayo 25, 2007

Cuando hace unos días hablábamos de la paradoja de los gemelos, surgió la cuestión de cómo la geometría del espacio-tiempo de Minkowski hacía que dados dos eventos A y B, el segundo en el futuro del primero, una linea temporal recta entre los mismos experimentara un tiempo propio mayor que el de cualquier otra línea temporal no recta entre A y B. El análisis geométrico es muy elegante, pero lo vamos a dejar para una futura ocasión. Vamos a ver en su lugar un bosquejo del análisis desde un punto de vista algebraico, usando las transformaciones de Lorentz (de manera muy simplificada, ya que en realidad vamos a utilizar poco más que el factor de dilatación y la regla de composición de velocidades). En primer lugar, consideremos la figura inferior izquierda, que es (casi) la misma que figuraba en el apunte anterior sobre la paradoja de los gemelos.

Paradoja de los gemelos

Esta figura representa la situación desde el punto de vista del gemelo que se queda en casa. El gemelo astronauta viaja durante t años hacia un planeta lejano, y al llegar al mismo vuelve, empleando otros t años para ello. En total, según el gemelo sedentario, han transcurrido 2t años en la Tierra, y algunos menos en la nave espacial; concretamente, desde el punto de vista del gemelo en casa, para el viajero habrán transcurrido 2γt años, donde γ es el factor de dilatación temporal. Usando unidades en las que c = 1,

\gamma = \sqrt{1-v^2}

donde v es la velocidad del viajero. ¿Cómo es la situación desde otro punto de vista? Pensemos por ejemplo en otro observador en situación de movimiento uniforme que acompaña al viajero en su trayecto de ida, pero que nunca da la vuelta para regresar. Este observador estaría indicado por la línea magenta en la figura izquierda, y desde su punto de vista (compartido por el viajero sólo durante el trayecto de ida) la cosa es tal como se describe en la figura derecha: es la Tierra la que se aleja a velocidad v en todo momento. El viajero está en reposo con respecto a este observador hasta que decide dar la vuelta. En este sistema de referencia, esto tiene lugar tras γt años. En ese momento, el viajero se aleja del observador a gran velocidad. Dado que la velocidad de la Tierra es v para el observador, y la velocidad relativa del viajero con respecto a la Tierra -medida por cualquiera de los dos gemelos- es también v (con el signo apropiado en todos los casos), el observador aprecia como el viajero se aleja de él a velocidad 2v/(1+v2), tal como la regla de composición de velocidades relativistas indica. Cualitativamente, esto es claramente superior a v, y explica cómo aunque desde el punto de vista del observador el reloj de la Tierra va más lento que el suyo, el del viajero va todavía mucho más lento durante esa parte del recorrido.

¿Cuánto tiempo tarda el viajero en dar alcance a la Tierra? Desde el punto de vista de este observador, el diferencial de velocidad entre viajero y Tierra es v‘ = 2v/(1+v2) – v = (v-v3)/(1+v2), y la distancia inicial cuando el astronauta da la vuelta era d= γtv, por lo que el tiempo de alcance es t‘ = d/v = t(1+v2)/γ años. Durante este tiempo, el factor de dilatación temporal del viajero (medido por este observador) es

\gamma' = \sqrt{1-\frac{4v^2}{(1+v^2)^2}}

El tiempo experimentado por el viajero será entonces t” = γ’t‘, y simplificando un poco puede verse que

t''=\frac{t(1+v^2)}{\sqrt{1-v^2}}\sqrt{1-\frac{4v^2}{(1+v^2)^2}} = \frac{t(1-v^2) }{\sqrt{1-v^2}} = \gamma t

Sumando el tiempo del trayecto de ida (γt años) obtenemos efectivamente 2γt años como el tiempo transcurrido para el viajero. Por supuesto, este observador verá que la reunión de los hermanos se produce tras t(1+v2)/γ + tγ = 2t/γ años. El tiempo transcurrido según él en la Tierra es por lo tanto (2t/γ)γ=2t, como era de esperar.

Puede hacerse el mismo análisis para otro observador que acompaña al viajero durante el trayecto de vuelta. ¿Qué es lo que pasa entonces desde el punto de vista del viajero? comparte el análisis del primer observador durante los primeros γt años propios, y el análisis del segundo durante los últimos γt años. Esto supone que durante la fase de movimiento uniforme (en cualquiera de los dos sentidos) sólo “percibe” 2γ2t años en la Tierra (γ2t al inicio, y otros tantos al final). ¿Qué pasa con todo el tiempo que transcurre en la Tierra entre estos dos pequeños tramos? Para el viajero, este periodo intermedio transcurre durante el intervalo durante el que cambia su velocidad. Evidentemente, esto no quiere decir que el viajero “vea” los años pasar en un instante, ya que las señales desde la Tierra tardan un tiempo en llegar a él. Sin embargo, cuando haga cuentas para eliminar estos efectos, se dará cuenta de que ésa es la realidad para él.

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5 comentarios to “La paradoja de los gemelos y las transformaciones de Lorentz”

  1. Mike said

    Felicidades por tu blog xaval!
    Super weno!

    muy interesante este articulo!! y tb fan de los articulos sobre Turing y Gödel!

    asias por elloz!

  2. Carlos said

    ¡Gracias, Mike! 🙂

  3. […] La paradoja de los gemelos y las transformaciones de Lorentz […]

  4. […] lo que tAB=2t. Dada la invariancia del intervalo espacio-temporal, el viajero mide lo mismo (véase aquí una resolución algebraica). Ambos concluyen por lo tanto que el viajero ha envejecido […]

  5. naranjito said

    algun dia llegaremos a realizar este experimento¿

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