La Singularidad Desnuda

Un universo impredecible de pensamientos y cavilaciones sobre ciencia, tecnología y otros conundros

Euler y la paradoja relativista de los gemelos

Posted by Carlos en abril 17, 2007

Leonhard EulerDado que el tejido del Universo es de la mayor perfección y la obra del más sabio Creador, nada en absoluto tiene lugar en el Universo sin que una regla de máximo o mínimo aparezca.

Leonhard Euler (1707-1783), matemático suizo

El domingo día 15 se cumplieron 300 años del nacimiento de Leonhard Euler, uno de los más grandes y más prolíficos matemáticos de todos los tiempos. Glosar su figura a estas alturas sería un ejercicio de futilidad. Cualquiera interesado en su obra o en su vida puede consultar aquí, o en cualquiera de las referencias incluidas aquí. Sí que merece la pena no obstante resaltar una vez más la clarividencia científica de Euler, reflejada por ejemplo en la cita inicial. No sólo se trata de que en esa frase Euler describa el comportamiento dinámico de un sistema físico (que dejado a su suerte “busca” el estado de mínima energía local) o el proceso evolutivo de un sistema biológico (que “busca” la configuración de máxima eficacia local). Lo realmente sorprendente es que esta frase capture con tanta viveza una propiedad física que no conoceríamos hasta el siglo XX con la formulación de la Teoría de la Relatividad, y que tiene que ver precisamente con el espacio-tiempo (el “tejido del Universo”) y con los cuerpos que se mueven en él. Concretamente, me refiero al Principio del Envejecimiento Extremo, que podemos formular como sigue:

La trayectoria que una partícula libre toma entre dos puntos del espacio-tiempo es aquella que hace que el intervalo de tiempo medido por un reloj adosado a la partícula sea extremo.

En el anterior enunciado, ‘extremo’ quiere lógicamente decir ‘máximo’ o ‘mínimo’. Este principio es extremadamente útil, y a partir de él se pueden derivar resultados muy interesantes. En este caso, vamos a ver cómo nos ayuda a entender la paradoja de los gemelos. Recordemos en prmer lugar el enunciado de la misma: un astronauta se embarca en una misión espacial que le mantiene viajando a velocidades relativistas durante x años según su hermano gemelo que permanece en la Tierra. A su vuelta, el astronauta es más joven que dicho hermano. La aparente paradoja de la situación es que podría pensarse que desde el punto de vista del astronauta, es el hermano el que ha estado moviéndose a velocidades relativistas todo el tiempo, por lo que debería ser este último el que fuera más joven.

Paradoja de los gemelosPara ver como el principio del envejecimiento extremo nos resuelve la supuesta paradoja, podemos ver en primer lugar cómo sería la situación desde el punto de vista del hermano que se queda en la Tierra. Usando un diagrama en el que el eje X es el espacio, y el eje Y es el tiempo, la situación sería como la indicada en la figura de la derecha: el hermano que se queda en la tierra tiene una trayectoria en el espacio-tiempo rectilínea, permaneciendo en s=0, y desplazándose verticalmente en la gráfica a medida que pasa el tiempo. Por su parte, el hermano astronauta a la vez que avanza en el tiempo se desplaza por el espacio alejándose, para luego volver (por simplicidad, suponemos que toda la aceleración necesaria para partir, cambiar de dirección y frenar está concentrada en un instante infinitesimal en cada uno de los tres puntos correspondientes). La longitud de cada una de las trayectorias representadas (azul para el que está en la Tierra, roja para el astronauta), representa el tiempo medido por cada uno de estos dos observadores. Puede parecer que la línea roja es más larga, pero hay que tener en cuenta que el espacio-tiempo no tiene una geometría euclídea como estamos acostumbrados, sino minkowskiana. De hecho, el principio de envejecimiento extremo nos dice que dado que el hermano que se queda en la Tierra tiene un movimiento natural (ya sabemos desde Newton que un cuerpo sobre el que no actúa fuerza externa permanece en reposo o se mueve con velocidad constante, lo que significa una trayectoria espacio-temporal rectilínea), experimentará más tiempo entre el evento A y el evento B, que cualquier otro observador que siga una trayectoria diferente. ¿Podemos hacer un razonamiento análogo para el astronauta? No, ya que de hecho al invertir su movimiento cambia de sistema de referencia. En el sistema de referencia que tenía cuando se alejaba, todo era simétrico a lo anteriormente explicado (el hermano alejándose, y el astronauta en s=0) hasta el momento en que cambia de dirección en el que la trayectoria del astronauta deja de ser rectilínea. Lo mismo se aplica al sistema de referencia que se tiene cuando se acerca. Si se usa la métrica de Minkowski, y se calculan las longitudes de las trayectorias se obtiene la solución cuantitativa al problema. La solución cualitativa es clara: el astronauta no sigue la trayectoria de una partícula libre entre A y B, por lo que experimenta menos tiempo que el hermano que no viaja.

Euler no sabía nada de astronautas, viajes relativistas, o espacio-tiempo minkowskiano, pero cuando un genio como él habla, hasta la casualidad le asiste, y nos proporciona gemas de conocimiento que podemos aplicar en situaciones insospechadas. ¡Muchas gracias por todo, Profesor Euler!

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21 comentarios to “Euler y la paradoja relativista de los gemelos”

  1. Hector said

    Lamento decir que sigo sin entender la paradoja de los gemelos, y es algo que lleva intrigandome mucho tiempo.

    No es lo mismo decir que el gemelo Astronauta se aleja del gemelo Terrestre que viceversa? Cual es la diferencia entre la percepción de uno y el otro del tiempo? Como seria el gráfico que indicas desde el punto de vista del astronauta?

    En fin, supongo que debe ser porque no tengo ni idea de geometría minkoswkiana. En cualquier caso, muchisimas gracias por la página, es realmente genial.

  2. Carlos said

    Gracias por tu comentario, Hector. La diferencia es que el que se queda en la Tierra está siempre en reposo, mientras que el que viaja sufre una aceleración en tres momentos: al salir, al cambiar de dirección, y al llegar (en la práctica es el cambio de dirección el que más importa, pero en cualquier caso la situación no es simétrica). Por ese motivo no hay un único diagrama desde el punto de vista del astronauta (bueno, podemos considerar un sistema de referencia unido a él, pero no sería inercial), sino dos: uno para el alejamiento, y otro para el acercamiento. El primero es simétrico al de la Tierra hasta el punto de cambio de dirección, y el segundo desde ese punto hasta la llegada.

    Para verlo de otro modo, si el astronauta que se aleja nunca volviera (es decir, siguiera alejándose con velocidad constante) su sistema de referencia local sí sería inercial, y ambos -el de la Tierra y el astronauta- “verían” que el otro envejece más lentamente. Esto puede reconciliarse gracias al hecho de que la noción de simultaneidad sería distinta para ambos. Lo mismo ocurriría durante la vuelta. Es en el cambio de sistema de referencia del astronauta donde está la clave de la aparente paradoja.

    Cualitativamente, si en el espacio-tiempo de Minkowski una partícula se desplaza entre dos eventos A y B sin experimentar aceleración, el tiempo propio que mide será mayor que el de cualquier otra partícula acelerada que vaya de A a B. Para verlo cuantitativamente hay que hacer unos cuantos números con la métrica de Minkowski. Mira por ejemplo aquí (es una explicación cualitativa, pero tiene la información necesaria para dar el salto cuantitativo).

  3. Villa said

    Hector: “Lamento decir que sigo sin entender la paradoja de los gemelos, y es algo que lleva intrigandome mucho tiempo.”

    Quizas Carlos no se ha explicado del todo bien. Permitidme un pequeño comentario.

    Imaginemos que llamamos AB a la trayetoria del gemelo en Tierra, y ACB a la del que viaja a una velocidad próxima a la velocidad de la luz. En un espacio euclídeo ordinario, las distancias se miden con d(x,y)^2 = sum ( x(i)-y(i)^2 ), con lo que las recorridas en la figura cumplen la desigualdad triangular AC + CB >= AB.

    Sin embargo, en el espacio minkowskiano, con espacio y tiempo, las distancias se miden con d( (x,t), (y,t’) ) = c^2(t-t’)^2 – sum ( x(i)-y(i)^2 ), usando signatura (+—). Ambos gemelos han de avanzar en el eje del tiempo hacia el futuro con una velocidad menor que la velocidad de la luz, luego su línea espacio-temporal debe ser tal que d( (x,t), (y,t’) ) >0, por tanto la desigualdad triangular nos da (escríbelo y veras el porqué) AC + CB

  4. Villa said

    Perdon, ha quedado cortado… continuo

    (escríbelo y veras el porqué) AC + CB

  5. Villa said

    Otra vez ha quedado cortado… parece que soy un poco inutil…

    AC + CB menor o igual que AB. El argumento no depende de aceleraciones ni nada por el estilo. Sólo depende de que el futuro sólo sea alcanzable para nosotros a velocidades menores que la máxima posible, la de la luz (interacciones propagadas por campos de masa en reposo nula).

    El argumento es de Herman Bondi “Relativity and Common Sense”, editado por Dover.

  6. Carlos said

    Hola Villa. Gracias por la clarificación. En la desigualdad triangular si A, B y C no están en una recta, entonces la partícula que hace el recorrido A-C-B experimenta un cambio de velocidad en algún momento, de ahí mi comentario sobre la aceleración (y también por resaltar la diferencia entre los dos observadores en la paradoja de los gemelos). Si hacemos un razonamiento puramente geométrico la cosa es más simple, pero necesitamos introducir la métrica claro. Es de todas formas sencillita, y pensaba dedicarle algún post. El año que viene es el 100º aniversario de la famosa disertación de Minkowski sobre el espacio-tiempo, pero creo que no podré esperar tanto 😉 .

  7. El espacio-tiempo de Minkowski viene muy bien explicado en un libro de Roger Penrose llamado El Camino a la Realidad, sin embargo no sabía de esa conexión con el gran Euler, es muy curioso, ese señor puso su grano de arena (más bien montaña) en casi todas las ramas de las matemáticas y la física. Parece mentira lo que ha cambiado la ciencia en 300 años, pero sin Euler no hubiese cambiado ni la mitad, un saludo.

  8. cua said

    No entiendo esto de “El argumento no depende de aceleraciones ni nada por el estilo” que ha dicho Villa: si no me equivoco, no hay paradoja porque lo gemelos no son intercambiables, ya que uno está fijo respecto de un sistema de referencia inercial, y el otro (el que va y vuelve) no, debido a que este último experimenta aceleraciones. Por tanto, como dice Carlos, la aceleración es lo que los diferencia ¿no?

  9. Carlos said

    Cua, el argumento de Villa es una generalización de la situación en términos puramente geométricos. Como el espacio-tiempo no es euclídeo sino minkowskiano, si C es un evento en el futuro de A, y B está en el futuro de C, entonces AC+CB es menor o igual que AB (con la igualdad si y sólo si A,B,C están en la misma recta). Es una consecuencia de la geometría del espacio-tiempo de Minkowski. Ahora, si se introducen partículas que hacen ese recorrido, en el punto C se experimenta una aceleración, que es lo que sucede en la paradoja de los gemelos, y que efectivamente rompe la simetría.

  10. Villa said

    En relación a la dificultad de Cua: en el espacio-tiempo minkowskiano sólo podemos hablar de sistemas de referencia inerciales. La presencia de sistemas no inerciales, acelerados, por el Principio de Equivalente, nos da uno no minkowskiano. Por supuesto, si las aceleraciones son pequeñas, es “aproximadamente” minkowskiano. Lo que yo quería decir es que la paradoja es “válida” en Relatividad Especial, en espacio-tiempos minkowskianos, y no es necesario recurrir a la Relatividad General, a espacio-tiempo más generales (es decir, no es necesario tener en cuenta las aceleraciones y desaceleraciones para explicar la paradoja, aunque sí es verdad que mucha gente, incluso algunos expertos, lo creen “erróneamente” así, por ejemplo, en algún libro de Paul Davis, el gran divulgador, se comete este error). Se ha discutido mucho la paradoja de los gemelos durante el s. XX, de ahí que se llame “paradoja”, pero la opinión más generalizada es que basta considerar un espacio-tiempo de Minkowski.

  11. Villa said

    En relación a la recomendación de El Señor J: “The Road to Reality”, de Roger Penrose, es uno de los mejores libros que he leído en los últimos años (“casi”, voy por la página 800 o así, me lo leo a trompicones, cuando tengo tiempo libre). Una obra maestra. Lo recomiendo encarecidamente. Aunque eso sí, está muy “sesgado” hacia la obra del propio autor, la Teoría de Twistor, es muy discutible que la Realidad esté “Twistorizada”, y actualmente algunas de las opiniones que expresa Penrose en el libro son bastante discutibles. Pero aún así, es un compendio maravilloso de 2000 años de matemática, física, metafísica y arte en 1000 y pico páginas. Muy recomendable. Ideal para regalar a jóvenes en edad de entrar a la Universidad, a ver si conseguimos vocaciones hacia la matemática y la física, que la Universidad española se está quedando sin alumnos en estas ramas.

  12. cua said

    Yo no soy físico, aunque tengo una formación técnica, pero me encantan la física y las matemáticas y encuentro interesantísimo el libro de Penrose, lo leo a trozos y he aprendido mucho en él. Respecto a la paradoja de los gemelos, la formulación está clara y no admite cambios. Lo que es más subjetivo es como se hable de esas fórmulas, como se interpreten, y podemos enredarnos en una discusión interminable (e inútil) sobre como debe interpretarse tal o cual palabra. Teniendo esto en mente, yo no he dicho nada que se salga de lo que modela la relatividad especial, ya que he hablado que uno de los gemelos esta “atado” a un sistema de referencia inercial y el otro no, y por tanto, solo hay un sistema de referencia inercial, y no dos, con lo cual las dos “vistas” de la situación no son “intercambiables” según la relatividad especial y no hay paradoja. Para esto no hay que recurrir a la relatividad general para nada. Si usamos el modelo de las lineas de mundo para interpretar la situación, el hecho de que una de las dos lineas de mundo sea una linea recta y la otra no (la otra es una curva, aunque en la simplificación usada la curvatura es “infinita” al cambiar de dirección) marca la diferencia. La curvatura de la linea del mundo tambien puede llamarse “aceleración”, que entonces es un concepto puramente geométrico en este contexto.

  13. cua said

    Recordaba haber leido esto pero no he encontrado el enlace hasta hace poco, supongo que es relevante en relación a mi último post:

    sobre RE y la aceleración

  14. Villa said

    La paradoja de los gemelos y sus posibles interpretaciones nos pueden llevar a largas discusiones. La idea fundamental es qué diferencia al tiempo en mecánica newtoniana y en mecánica relativista (especial). Digo mecánica y no cinemática, incluyendo posibles aceleraciones (modeladas como sistemas no inerciales vistos desde sistemas inerciales, pero no como sistemas no inerciales “como tales”). Ambos gemelos tienen su propio “tiempo propio”. ¿Pero cómo ven el tiempo del otro en unidades de su “tiempo propio”? Antes de partir, ambos en reposo, comparten su mismo tiempo propio. Después de reunirse, lo mismo. Pero durante el trayecto no es así. El diagrama espacio-tiempo dibujado por Carlos muestre cómo ve el gemelo A (línea azul) al gemelo R (línea roja). ¿Pero cómo ve el gemelo R (supuesto en “reposo”) al gemelo A?

    El problema no es fácil de resolver ya que requiere una buena definición de un modo de medir el tiempo de A que se pueda realizar desde R. Obviamente, enviando y recibiendo, adecuadamente, rayos de luz. La mejor definición que yo conozco es el la introducida por Bondi, el tiempo de “radar” (radar time). Os recomiendo el artículo “Parallax distance, time, and the twin “paradox”,” W. G. Unruh, American Journal of Physics (1981) 49(6) pp. 589–592. Su figura 1 es la de Carlos. Su figura 3 os muestra la trayectoria de A vista desde R. Es muy instructiva (de hecho en el momento del cambio de dirección de la trayectoria, el tiempo de A visto desde R parece ir “hacia atrás”). ¿Pero esta es la mejor manera de medir el tiempo de A desde R? Eso es imposible de saber. No existe la mejor manera en física, sólo maneras físicamente experimentables. El artículo “On radar time and the twin “paradox”,” Carl E. Dolby and Stephen F. Gull, American Journal of Physics (2001) 69(12) pp. 1257-1261, muestra que es una manera muy consistente y desde casi todos los puntos de vista muy razonable.

    Para los que no podéis acceder a dichas revistas… Carlos podría
    dedicar un futuro post al tema (mostrando las figuras 1 y 3 de Unruh) y una pequeña explicación del concepto de “tiempo de radar”.

  15. Carlos said

    Hola Villa. Me parece un gran sugerencia lo del tiempo de radar. Le dedicaremos un post en unos días. Por cierto, acabo de ver un trabajo de Dolby y Gull -de 2001 también en el Am J Phys- en el que abordan el tiempo de radar y la paradoja de los gemelos, y tienen una sección titulada “Gravity Doesn’t Matter”, donde abordan cómo el problema no requiere de la relatividad general para su resolución.

  16. […] por Carlos on 25/05/07 Cuando hace unos días hablábamos de la paradoja de los gemelos, surgió la cuestión de cómo la geometría del espacio-tiempo de […]

  17. […] está arraigada en nuestra intuición. Es bien conocida la paradoja de los gemelos, de la que ya hablamos en un par de ocasiones. Alvy comenta en Microsiervos otra paradoja menos conocida popularmente, […]

  18. […] está arraigada en nuestra intuición. Es bien conocida la paradoja de los gemelos, de la que ya hablamos en un par de ocasiones. Alvy comenta en Microsiervos otra paradoja menos conocida popularmente, […]

  19. olatoe said

    no teneis ni idea de lo que es la eneergia , el espacio y el tiempo, einstein tampoco, pero el al menos lo reconocia

  20. Carlos said

    Olatoe: Menos mal que has venido a sacarnos del autoengaño. 😛 .

  21. […] de los gemelos, no necesitamos hacer uso ni siquiera de la noción de simultaneidad, ya que como Villa indicaba en este hilo de comentarios, nos basta con recurrir a la propia geometría del espacio-tiempo. Si uno de los hermanos viaja a […]

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