La Singularidad Desnuda

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Relatividad especial, simultaneidad y paradojas: Minkowski al rescate

Posted by Carlos en octubre 27, 2008

Siguiendo con la serie sobre el espacio-tiempo de Minkowski, y antes de adentrarnos en los vericuetos de los espacios-tiempos curvos, vamos a ver un par de pinceladas más de cómo esta interpretación geométrica nos puede ayudar a entender algunos aspectos anti-intuitivos de la relatividad especial. Consideremos por ejemplo las diferentes “paradojas” que parecen surgir dentro de la teoría (la de los gemelos, la de la escalera en el granero, etc.). Dichas paradojas brotan de intentar combinar la idea clásica del espacio y el tiempo separados y absolutos -muy arraigada en nuestro subconsciente- con la del espacio-tiempo unificado con geometría minkowskiana. Tal como puede verse en el primer diagrama que empleamos para representar los sistemas de referencia de dos observadores en movimiento relativo, el espacio y el tiempo de uno son una mezcla del espacio y el tiempo del otro, y viceversa. Esto conlleva entre otras cosas que la noción de simultaneidad sea relativa a cada observador, tal como se ve en la imagen inferior.

Percepción relativa de simultaneidad por parte de observadores en movimiento relativo

Percepción relativa de simultaneidad por parte de observadores en movimiento relativo

Esta relatividad de la simultaneidad es un ingrediente esencial de muchas de las paradojas, ya que a la postre indica que la ordenación temporal relativa de dos eventos depende del observador. Por ejemplo, los eventos A y B en la imagen superior son simultáneos para O, pero para O’ A es posterior a B. Del mismo modo, C y D son simultáneos para O’, pero C es anterior a D para O. Finalmente, F es un evento anterior a E desde el punto de vista de O, pero para O’ es precisamente al contrario. Esto -unido a la velocidad finita de transmisión de las señales- permite entender muchas paradojas, como por ejemplo la del mosquito y el remache, que ya tratamos hace algún tiempo: desde el punto de vista del remache primero se produce el impacto en el fondo del orificio, y luego la cabeza choca contra la pared, mientras que para el mosquito el orden de los eventos es el inverso.

Otra paradoja muy relacionada es la de la escalera en el granero: tenemos una escalera de longitud L1 y una granero de longitud L2 (distancias medidas cuando están en reposo el uno con respecto al otro), siendo L1 > L2. Nos movemos a velocidad v hacia el granero, y desde el punto de vista de un observador en reposo dentro del mismo, el tamaño de la escalera es L1 = L1/γ < L1, donde

\gamma = \gamma(v) = 1/\sqrt{1-v^2}\geqslant 1

es el factor de Lorentz. A una velocidad lo suficientemente cercana a la de la luz, L1 < L2, por lo que este observador considerará que hay un instante en el que la escalera está totalmente contenida en el granero (para recalcar más este hecho, podemos imaginar que pulsa un botón que durante un instante cierra y luego abre la puerta delantera y la trasera del granero de manera simultánea, con lo que la escalera está efectivamente encerrada dentro del granero). Sin embargo, desde el punto de vista de la escalera el granero tiene una longitud L2 = L2/γ < L2 < L1, por lo que nunca podrá estar totalmente dentro del granero. Para este segundo observador, el extremo delantero de la escalera sale por la parte de atrás del granero antes de que la parte trasera haya entrado. Si en el diagrama anterior A y B representan el cierre de la puerta delantera y el cierre de la puerta trasera respectivamente (simultáneos para el observador en reposo en el granero), puede verse que al trazar la línea de simultaneidad para O‘ -la escalera- de  A (la puerta delantera se cierra), el evento B (la puerta trasera se cierra) es anterior.

Para resolver otra aparente paradoja como la célebre de los gemelos, no necesitamos hacer uso ni siquiera de la noción de simultaneidad, ya que como Villa indicaba en este hilo de comentarios, nos basta con recurrir a la propia geometría del espacio-tiempo. Si uno de los hermanos viaja a velocidad v hasta una distancia d=vt y vuelve a la misma velocidad (suponemos velocidad constante por simplicidad, pero realmente no es imprescindible), siempre desde el punto de vista del observador en la Tierra, el trayecto espacio-temporal A[0,0]C[t,d]B[2t,0] del viajero tiene longitud

s_{AC}^2 = s_{CB}^2=-t^2 + v^2t^2 = -t^2(1-v^2)

i.e., t_{ACB}=2t_{AC}=2\sqrt{-s^2_{AC}}=2t\sqrt{1-v^2}, mientras que el suyo en reposo en la Tierra (AB) es

s_{AB}^2 = -4t^2,

por lo que tAB=2t. Dada la invariancia del intervalo espacio-temporal, el viajero mide lo mismo (véase aquí una resolución algebraica). Ambos concluyen por lo tanto que el viajero ha envejecido menos.

El próximo día seguiremos sacándole punta a esta relatividad de la simultaneidad, y veremos cómo superar la velocidad de la luz en algún sistema de referencia puede producir paradojas causales.

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4 comentarios to “Relatividad especial, simultaneidad y paradojas: Minkowski al rescate”

  1. […] Relatividad especial, simultaneidad y paradojas: Minkowski al rescate […]

  2. Carlos said

    Por supuesto, Juanlu, aquí tienes el artículo que me pedirás dentro de un rato. 🙂

  3. Juanlu said

    Hola Carlos,

    Te quiero hacer una propuesta, podrías escribir algún artículo sobre viajes en el tiempo con algún ejemplo relacionado con el mundo de los deportes.

    PS. Te envío el comentario a velocidad infinita, si respondes igual, lo mismo puedo leer tu artículo antes de enviarte esta petición… 😉

  4. […] poco acerca de la geometría minkowskiana, y de cómo nos permite entender de manera muy intuitiva las aparentes paradojas que nuestra arraigada concepción del espacio y del tiempo como entes separados y absolutos provoca […]

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