La Singularidad Desnuda

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La Paradoja de Smale en vídeo: Eversión de una esfera

Posted by Carlos en noviembre 6, 2007

La paradoja de Smale es uno de los resultados más sorprendentes del área de la topología diferencial. Básicamente afirma que es posible tomar una esfera y evertirla (volverla del revés, haciendo que la superficie interior sea la exterior y viceversa) mediante transformaciones suaves que ni desgarran ni crean “arrugas” (bucles plegados infinitesimalmente) en la misma. Aunque se permite que la esfera se atraviese a sí misma, los requisitos de que no se puedan hacer desgarros ni arrugas hacen que parezca imposible realizar la eversión, y de ahí la aparente paradoja, ya que ésta sí es posible, tal como Steve Smale demostró en su tesis doctoral (para gran sorpresa inicial de Raoul Bott, su supervisor) en 1957.

La demostración de Smale no era sin embargo constructiva, sino sólo de existencia. Habría que esperar a 1961 para que Arnold Shapiro desarrollara la primera eversión explícita. Un método distinto y más general fue propuesto a mediados de los 70s por Bill Thurston. El procedimiento no es trivial de visualizar, pero el vídeo que se incluye más abajo lo muestra paso a paso con detalle, y hace uso de analogías simples para entender cómo se realiza, empezando por mostrar la eversión de curvas simples en el plano, y el concepto de número de giros (turning number). Este concepto explica cómo es imposible realizar la eversión de un círculo, y cómo sorprendentemente no hay obstáculo en una esfera. Es realmente un vídeo brillante y didáctico. Está en inglés, pero es posible acceder al guión escrito del mismo aquí. Para no perdérselo.

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