La Singularidad Desnuda

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Subasta de un dólar: no jugar no es la única forma de ganar, pero casi

Posted by Carlos en octubre 14, 2009

Dollar auction

El tiranosaurio está proponiendo un juego teórico clásico: la subasta de un dólar. El comportamiento descrito en la viñeta en el que se produce una guerra de pujas sin control se ha observado en simulaciones reales del juego, lo que indica cómo el factor psicológico domina en ocasiones al análisis racional.

Si ambos jugadores son racionales y su único objetivo es maximizar el beneficio propio, el juego termina en la primera puja, cuando el jugador #1 ofrece $0,99. El segundo jugador no pujará ya que cómo mínimo debería ofertar $1,00 y en el mejor caso se quedaría como está, y lo más probable es que se desatase una guerra de pujas en ese momento. También pueden intentar acordar una estrategia común, de manera que el jugador #1 puje con $0,01, el segundo no puje, y luego se repartan el dólar. El problema es determinar cómo, ya que el jugador #2 puede exigir $0,98 bajo amenaza de “o eso o nos arruinamos los dos”. Sería racional aceptar el trato, ya que los dos salen ganando, pero ¿es racional tomar una decisión basándose en una amenaza irracional? En cualquier caso lo más probable es que en la práctica el jugador #2 se conformara con $0,49 o incluso menos. Somos animales cooperativos en el fondo.

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La Ley de Weber-Fechner y la percepción económica (o por qué preferimos 100 céntimos a un euro)

Posted by Carlos en enero 30, 2009

La Ley de Fechner (o Weber-Fechner) caracteriza la sorprendente relación entre la magnitud objetiva de un estímulo físico, y la percepción cognitiva de dicho estímulo. Concretamente, esta ley nos indica que dicha relación no es lineal (ni siquiera considerando que se pueda producir una saturación en los extremos), sino logarítmica. Para verlo con un ejemplo, imaginemos que con los ojos vendados sostenemos un cierto peso en la mano. Un compañero va incrementando lentamente este peso hasta que nosotros advertimos que se ha producido un aumento discernible. La magnitud de este incremento mínimo percibible no es constante (esto es, independiente del peso inicial que sostenemos), como cabría esperar de una relación lineal entre estímulo y percepción, sino que es proporcional a dicho peso, lo que planteado como ecuación diferencial da lugar a la citada relación logarítmica.

Esta relación puede resultar menos sorprendente si consideramos la manera en la que por ejemplo medimos la magnitud aparente de un cuerpo estelar, o la intensidad del sonido. En ambos casos, un cambio multiplicativo en la magnitud del estímulo visual/sonoro se traduce en un cambio aditivo en la medida del mismo en la escala correspondiente. De hecho, parece ser que de alguna manera esta transformación logarítmica está cableada profundamente en nuestros cerebros, y afecta también a la manera en la que percibimos los propios números: cuanto más grandes son, el umbral de discriminación entre valores diferentes aumenta. Más aún, existe aparentemente un fenómeno psicológico por el cual tendemos a ignorar las unidades en las que una magnitud se expresa, centrándonos únicamente en la expresión numérica de la misma. Las implicaciones de este hecho son ciertamente sorprendentes, tal como Ellen E. Furlong y John E. Opfer, de la Ohio State University, demuestran en un artículo titulado

recién aceptado para su publicación en Psychological Science. En este trabajo Furlong y Opfer analizan este efecto en el contexto de la versión iterada del dilema del prisionero. Como es sabido, en este juego dos participantes deciden independientemente si cooperan o traicionan al otro jugador. De resultas de dicha decisión, ambos jugadores reciben una recompensa R si ambos cooperan, un pequeño pago P si ambos traicionan, o -en caso de que uno coopere y el otro traicione- un premio suculento T (para el traidor) y una mínima cantidad S (para el cooperante). Estas cantidades verfican que T > R > P > S, y según la hipótesis de Rapoport y Chammah, la probabilidad de tración viene dictada por la relación T/R (intuitivamente, cuanto mayor sea esta relación, mayor es la tentación de traicionar).

La anterior relación es evidentemente independiente de la unidad en la que se expresen las recompensas, o lo que es lo mismo, es invariante ante multiplicación de todas las cantidades por un factor constante. Esto querría decir que la probabilidad de traicionar sería la misma si expresáramos el premio en euros o en céntimos. Sin embargo, esto ha sido disputado experimentalmente por Furlong y Opfer. En sus experimentos con jugadores humanos en dos escenarios económicamente equivalentes, uno expresado en dólares (R=$3, T=$5, S=$0, P=$1) y otro en centavos (R=¢300, T=¢500, S=¢0, P=¢100), el último dio lugar a una mayor tasa de cooperación (tanto individual como mutua), y a una menor latencia en perdonar las traiciones del oponente, en ambos casos con significatividad estadística. Para comprobar que no se trataba de una “querencia” hacia los centavos, sino que el factor relevante era la magnitud numérica, el experimento se repitió con dos escenarios adicionales: números pequeños en centavos (R=¢3, T=¢5, S=¢0, P=¢1) y números grandes en dólares (R=$300, T=$500, S=$0, P=$100). En este caso, no hay diferencia en las tasas de cooperación entre el caso R=¢3 y el caso R=$3, y sí las hay entre el caso R=$3 y el caso R=$300. La hipótesis de los autores es que el factor de tentación está determinado por la percepción logarítmica de las cantidades, de manera que aunque en el caso de usar dólares o centavos 5/3 = 500/300 (de acuero con el modelo de Rapoport y Chammah), ln(5)/ln(3) > ln(500)/ln(300), por lo que la probabilidad de traición es mayor en el primer caso.

Ellen E. Furlong and John E. Opfer / Psychological Science

Ellen E. Furlong and John E. Opfer / Psychological Science

Para verificar esta hipótesis realizaron nuevos experimentos con variantes de la matriz original (R=$3, T=$5, S=$0, P=$1) en la que se añade una constante aditiva (100, 1000) o multiplicativa (.001, .01). Como se aprecia en la figura superior, el modelo basado en la relación de los logaritmos se ajusta con gran precisión a los datos experimentales (tasa de cooperación en este caso), mientras que el modelo original no puede dar cuenta de los resultados.

Este tipo de estudios es sumamente interesante para llegar a entender la dinámica de los procesos de negociación y toma de decisiones del mundo real, y la percepción que se tiene de las cantidades manejadas ya sea por los actores involucrados o por el común de los mortales.

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El Juego del Ultimatum (o cómo la avaricia rompe el saco)

Posted by Carlos en noviembre 11, 2006

Una de las situaciones más interesantes que pueden darse al analizar matemáticamente cualquier proceso en el que haya interacción y toma de decisiones por parte de actores humanos, es encontrar estrategias óptimas que sean en cierto modo contrarias a nuestra intuición. El área de la Teoría de Juegos abarca precisamente este tipo de análisis, y nos proporciona joyas matemáticas continuamente. Por ejemplo, en un triple duelo (trielo) en el que los participantes A,B y C tienen diferentes punterias pA < pB < pC, y juegan (disparan) en orden de menor a mayor punteria, la decisión más racional (asumiendo claro que un duelo a tres bandas es racional, y que todos los participantes también lo son) de A es disparar al aire y dejar que B y C se maten entre ellos (Jordi nos explica aquí por qué).

Una de las maneras más comunes de abordar el análisis de este tipo de situaciones es representarlo en lo que se conoce como forma normal. Para n jugadores, se construye una matriz n-dimensional, siendo el tamaño a lo largo de la dimensión i el número de jugadas por las que el jugador i puede optar. Cada posición de la matriz corresponde pues a una cierta combinación de jugadas por parte de todos los jugadores, y contiene la recompensa (o el castigo) que cada jugador recibe. Un ejemplo muy típico para dos jugadores es el dilema del preso. En general, si todos los jugadores han elegido una estrategia, y ninguno se beneficiaría cambiándola (asumiendo en cada caso que los demás la dejan fija), se ha alcanzado lo que se conoce como equilibrio de Nash. John Nash (el mismo de la película Una Mente Maravillosa) demostró que existen puntos de equilibrio para cualquier juego finito con cualquier número de jugadores.

Un problema interesante para el que el punto de equilibrio parece contrario a la intuición (o mejor dicho, a la conducta que desarrollaríamos en el mundo real) es el juego del ultimatum: tenemos M euros para repartir, y el jugador A le hace una propuesta al jugador B (X para mí, y M-X para ti”) que éste puede aceptar o rechazar. En el primer caso, el trato se cierra en los términos acordados; en el segundo caso, nadie gana nada. Si la unidad mínima de reparto es 1 euro, el punto de equilibrio de Nash para M=100 euros es 99 euros para A y 1 euro para B, oferta que este último aceptará ya que menos da una piedra. Pero, ¿aceptaríamos nosotros una oferta así? El cuerpo nos pide castigar de alguna manera a alguien tan egoista, incluso si perdemos algo nosotros tambien. ¿Hay alguna razón para esto? En el número de octubre de Investigación y Ciencia, y en el de junio de Matematicalia se ocupan de este asunto. Parece que una vez más el motivo de la discrepancia nos la da la confrontación de una solución estática con un sistema dinámico.

Siguiendo el modelo que A. Sánchez y J.A. Cuesta han propuesto en un artículo publicado en el Journal of Theoretical Biology, he realizado una simulaciones de un sistema en el que los individuos interaccionan de acuerdo al juego del ultimatum. Cada individuo tiene una estrategia expresada como el valor mínimo que está dispuesto a aceptar. Tras un número de tales interacciones, el individuo con menor capital es eliminado del sistema, y sustituido por una variante del individuo con mayor capital (modificando en una unidad arriba o abajo su umbral de aceptación; también cabe la posibilidad de que no se modifique). Si se toman promedios sobre un cierto número de simulaciones del sistema se obtiene lo siguiente: en las primeras fases de la evolución del sistema, el umbral de aceptación decrece desde valores medios del 50% a valores entre un 40% y un 30%. Podemos interpretar esto como una estrategia de supervivencia: si se pone el umbral muy alto no se consiguen ganancias, y la extinción es segura; pero tampoco se puede poner muy bajo, o las ganancias serán despreciables. Esto último tiene como efecto asociado que los individuos muy avariciosos tiendan a desaparecer, ya que no tienen a nadie de quien aprovecharse. Tan pronto como la población se homogeiniza con individuos cuyas estrategias permiten repartos más o menos razonables, comienza a emerger la cooperación, llegándose a un estado más o menos estable en el que el reparto es casi equitativo. Y es que es normal que el que parte se lleve la mejor parte, pero sin abusar.

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