La Singularidad Desnuda

Un universo impredecible de pensamientos y cavilaciones sobre ciencia, tecnología y otros conundros

Posts Tagged ‘Relatividad Especial’

Einstein explicando que E=mc2

Posted by Carlos en octubre 2, 2007

El siguiente vídeo contiene la voz de Albert Einstein explicando brevemente la equivalencia entre masa y energía. La verificación experimental de Cockcroft y Walton que menciona hace referencia al experimento que éstos realizaron en 1932, usando el que luego se llamaría generador de Cockcroft-Walton como fuente de energía para un acelerador de partículas que sería el primero de la Historia en producir una desintegración atómica (bombardeando átomos de Litio con protones de alta energía, y transmutándolo en Helio y otros elementos químicos). Por este logro conseguirían en 1951 el Premio Nobel de Física.

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La paradoja de los gemelos y las transformaciones de Lorentz

Posted by Carlos en mayo 25, 2007

Cuando hace unos días hablábamos de la paradoja de los gemelos, surgió la cuestión de cómo la geometría del espacio-tiempo de Minkowski hacía que dados dos eventos A y B, el segundo en el futuro del primero, una linea temporal recta entre los mismos experimentara un tiempo propio mayor que el de cualquier otra línea temporal no recta entre A y B. El análisis geométrico es muy elegante, pero lo vamos a dejar para una futura ocasión. Vamos a ver en su lugar un bosquejo del análisis desde un punto de vista algebraico, usando las transformaciones de Lorentz (de manera muy simplificada, ya que en realidad vamos a utilizar poco más que el factor de dilatación y la regla de composición de velocidades). En primer lugar, consideremos la figura inferior izquierda, que es (casi) la misma que figuraba en el apunte anterior sobre la paradoja de los gemelos.

Paradoja de los gemelos

Esta figura representa la situación desde el punto de vista del gemelo que se queda en casa. El gemelo astronauta viaja durante t años hacia un planeta lejano, y al llegar al mismo vuelve, empleando otros t años para ello. En total, según el gemelo sedentario, han transcurrido 2t años en la Tierra, y algunos menos en la nave espacial; concretamente, desde el punto de vista del gemelo en casa, para el viajero habrán transcurrido 2γt años, donde γ es el factor de dilatación temporal. Usando unidades en las que c = 1,

\gamma = \sqrt{1-v^2}

donde v es la velocidad del viajero. ¿Cómo es la situación desde otro punto de vista? Pensemos por ejemplo en otro observador en situación de movimiento uniforme que acompaña al viajero en su trayecto de ida, pero que nunca da la vuelta para regresar. Este observador estaría indicado por la línea magenta en la figura izquierda, y desde su punto de vista (compartido por el viajero sólo durante el trayecto de ida) la cosa es tal como se describe en la figura derecha: es la Tierra la que se aleja a velocidad v en todo momento. El viajero está en reposo con respecto a este observador hasta que decide dar la vuelta. En este sistema de referencia, esto tiene lugar tras γt años. En ese momento, el viajero se aleja del observador a gran velocidad. Dado que la velocidad de la Tierra es v para el observador, y la velocidad relativa del viajero con respecto a la Tierra -medida por cualquiera de los dos gemelos- es también v (con el signo apropiado en todos los casos), el observador aprecia como el viajero se aleja de él a velocidad 2v/(1+v2), tal como la regla de composición de velocidades relativistas indica. Cualitativamente, esto es claramente superior a v, y explica cómo aunque desde el punto de vista del observador el reloj de la Tierra va más lento que el suyo, el del viajero va todavía mucho más lento durante esa parte del recorrido.

¿Cuánto tiempo tarda el viajero en dar alcance a la Tierra? Desde el punto de vista de este observador, el diferencial de velocidad entre viajero y Tierra es v‘ = 2v/(1+v2) – v = (v-v3)/(1+v2), y la distancia inicial cuando el astronauta da la vuelta era d= γtv, por lo que el tiempo de alcance es t‘ = d/v = t(1+v2)/γ años. Durante este tiempo, el factor de dilatación temporal del viajero (medido por este observador) es

\gamma' = \sqrt{1-\frac{4v^2}{(1+v^2)^2}}

El tiempo experimentado por el viajero será entonces t” = γ’t‘, y simplificando un poco puede verse que

t''=\frac{t(1+v^2)}{\sqrt{1-v^2}}\sqrt{1-\frac{4v^2}{(1+v^2)^2}} = \frac{t(1-v^2) }{\sqrt{1-v^2}} = \gamma t

Sumando el tiempo del trayecto de ida (γt años) obtenemos efectivamente 2γt años como el tiempo transcurrido para el viajero. Por supuesto, este observador verá que la reunión de los hermanos se produce tras t(1+v2)/γ + tγ = 2t/γ años. El tiempo transcurrido según él en la Tierra es por lo tanto (2t/γ)γ=2t, como era de esperar.

Puede hacerse el mismo análisis para otro observador que acompaña al viajero durante el trayecto de vuelta. ¿Qué es lo que pasa entonces desde el punto de vista del viajero? comparte el análisis del primer observador durante los primeros γt años propios, y el análisis del segundo durante los últimos γt años. Esto supone que durante la fase de movimiento uniforme (en cualquiera de los dos sentidos) sólo “percibe” 2γ2t años en la Tierra (γ2t al inicio, y otros tantos al final). ¿Qué pasa con todo el tiempo que transcurre en la Tierra entre estos dos pequeños tramos? Para el viajero, este periodo intermedio transcurre durante el intervalo durante el que cambia su velocidad. Evidentemente, esto no quiere decir que el viajero “vea” los años pasar en un instante, ya que las señales desde la Tierra tardan un tiempo en llegar a él. Sin embargo, cuando haga cuentas para eliminar estos efectos, se dará cuenta de que ésa es la realidad para él.

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Euler y la paradoja relativista de los gemelos

Posted by Carlos en abril 17, 2007

Leonhard EulerDado que el tejido del Universo es de la mayor perfección y la obra del más sabio Creador, nada en absoluto tiene lugar en el Universo sin que una regla de máximo o mínimo aparezca.

Leonhard Euler (1707-1783), matemático suizo

El domingo día 15 se cumplieron 300 años del nacimiento de Leonhard Euler, uno de los más grandes y más prolíficos matemáticos de todos los tiempos. Glosar su figura a estas alturas sería un ejercicio de futilidad. Cualquiera interesado en su obra o en su vida puede consultar aquí, o en cualquiera de las referencias incluidas aquí. Sí que merece la pena no obstante resaltar una vez más la clarividencia científica de Euler, reflejada por ejemplo en la cita inicial. No sólo se trata de que en esa frase Euler describa el comportamiento dinámico de un sistema físico (que dejado a su suerte “busca” el estado de mínima energía local) o el proceso evolutivo de un sistema biológico (que “busca” la configuración de máxima eficacia local). Lo realmente sorprendente es que esta frase capture con tanta viveza una propiedad física que no conoceríamos hasta el siglo XX con la formulación de la Teoría de la Relatividad, y que tiene que ver precisamente con el espacio-tiempo (el “tejido del Universo”) y con los cuerpos que se mueven en él. Concretamente, me refiero al Principio del Envejecimiento Extremo, que podemos formular como sigue:

La trayectoria que una partícula libre toma entre dos puntos del espacio-tiempo es aquella que hace que el intervalo de tiempo medido por un reloj adosado a la partícula sea extremo.

En el anterior enunciado, ‘extremo’ quiere lógicamente decir ‘máximo’ o ‘mínimo’. Este principio es extremadamente útil, y a partir de él se pueden derivar resultados muy interesantes. En este caso, vamos a ver cómo nos ayuda a entender la paradoja de los gemelos. Recordemos en prmer lugar el enunciado de la misma: un astronauta se embarca en una misión espacial que le mantiene viajando a velocidades relativistas durante x años según su hermano gemelo que permanece en la Tierra. A su vuelta, el astronauta es más joven que dicho hermano. La aparente paradoja de la situación es que podría pensarse que desde el punto de vista del astronauta, es el hermano el que ha estado moviéndose a velocidades relativistas todo el tiempo, por lo que debería ser este último el que fuera más joven.

Paradoja de los gemelosPara ver como el principio del envejecimiento extremo nos resuelve la supuesta paradoja, podemos ver en primer lugar cómo sería la situación desde el punto de vista del hermano que se queda en la Tierra. Usando un diagrama en el que el eje X es el espacio, y el eje Y es el tiempo, la situación sería como la indicada en la figura de la derecha: el hermano que se queda en la tierra tiene una trayectoria en el espacio-tiempo rectilínea, permaneciendo en s=0, y desplazándose verticalmente en la gráfica a medida que pasa el tiempo. Por su parte, el hermano astronauta a la vez que avanza en el tiempo se desplaza por el espacio alejándose, para luego volver (por simplicidad, suponemos que toda la aceleración necesaria para partir, cambiar de dirección y frenar está concentrada en un instante infinitesimal en cada uno de los tres puntos correspondientes). La longitud de cada una de las trayectorias representadas (azul para el que está en la Tierra, roja para el astronauta), representa el tiempo medido por cada uno de estos dos observadores. Puede parecer que la línea roja es más larga, pero hay que tener en cuenta que el espacio-tiempo no tiene una geometría euclídea como estamos acostumbrados, sino minkowskiana. De hecho, el principio de envejecimiento extremo nos dice que dado que el hermano que se queda en la Tierra tiene un movimiento natural (ya sabemos desde Newton que un cuerpo sobre el que no actúa fuerza externa permanece en reposo o se mueve con velocidad constante, lo que significa una trayectoria espacio-temporal rectilínea), experimentará más tiempo entre el evento A y el evento B, que cualquier otro observador que siga una trayectoria diferente. ¿Podemos hacer un razonamiento análogo para el astronauta? No, ya que de hecho al invertir su movimiento cambia de sistema de referencia. En el sistema de referencia que tenía cuando se alejaba, todo era simétrico a lo anteriormente explicado (el hermano alejándose, y el astronauta en s=0) hasta el momento en que cambia de dirección en el que la trayectoria del astronauta deja de ser rectilínea. Lo mismo se aplica al sistema de referencia que se tiene cuando se acerca. Si se usa la métrica de Minkowski, y se calculan las longitudes de las trayectorias se obtiene la solución cuantitativa al problema. La solución cualitativa es clara: el astronauta no sigue la trayectoria de una partícula libre entre A y B, por lo que experimenta menos tiempo que el hermano que no viaja.

Euler no sabía nada de astronautas, viajes relativistas, o espacio-tiempo minkowskiano, pero cuando un genio como él habla, hasta la casualidad le asiste, y nos proporciona gemas de conocimiento que podemos aplicar en situaciones insospechadas. ¡Muchas gracias por todo, Profesor Euler!

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