La Singularidad Desnuda

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Infecciones complejas en redes de mundo pequeño

Posted by Carlos en noviembre 9, 2007

Las redes complejas son una herramienta fenomenal para modelar infinidad de procesos naturales, sociales y tecnológicos. Básicamente la idea es representar a los actores que intervienen en el proceso (e.g., enzimas y metabolitos si estamos intentando modelar una red metabólica, animales si estamos modelando un sistema ecológico, etc.) como los vértices de un grafo, y conectarlos mediante arcos dirigidos o mediante aristas (según corresponda) si entre ellos existe una interrelación directa en el proceso de interés. Pensemos por ejemplo en una red social constituida por los habitantes de una cierta población. Construiríamos un grafo en el que los vértices son personas, y en la que añadimos un arco ab si la persona a conoce a la persona b (en este caso la relación será típicamente simétrica, por lo que los arcos serían aristas).

Si se construye una red de estas características, hay diferentes propiedades que con casi total seguridad se podrán observar. Una de estas -y la que más nos interesa en esta ocasión- es la propiedad de mundo pequeño. Esta propiedad -transmitida al folklore popular a través de los célebres seis grados de separación– establece que en una red de este tipo la longitud del camino (número de aristas que hay que atravesar) para ir de un nodo a otro cualquiera es pequeña, típicamente logarítmica en relación con el número total de nodos. Esto también suele reflejarse (aunque de manera más variable) en un alto agrupamiento de los nodos, esto es, en una alta probabilidad de que si un nodo está conectado a otros dos, entonces éstos también estén conectados entre sí (e.g., es probable que conozca a gente con la que tengo otros conocidos en común). La figura inferior ilustra un ejemplo clásico de red social basado en las relaciones de amistad dentro de un club de karate, y que fue estudiado por Wayne Zachary.

Zachary’s karate club network

El análisis de este tipo de redes sociales puede ser fundamental a la hora de realizar por ejemplo estudios epidemiológicos. Si el patrón de contagio de una enfermedad es simple, es decir, si basta con que un nodo tenga un vecino infectado para que con cierta probabilidad se infecte también (éste sería también el caso de las redes de computadores y los virus informáticos para poner por caso), la difusión de la enfermedad puede entenderse y predecirse fácilmente a partir de las propiedades topológicas de la red. En particular, resulta evidente que la presencia de enlaces largos (i.e., conexiones entre partes de la red que estarían de otra forma a relativa gran distancia) y de concentradores (nodos con elevada conectividad) favorecen mucho la difusión de infecciones simples así definidas. Esto llevó a Mark Granovetter a formular la siguiente aseveración:

Cualquier cosa que se vaya a difundir alcanzará a más personas y recorrerá una mayor distancia social si pasa a través de enlaces débiles [de larga distancia] antes que a través de enlaces fuertes [de corta distancia]”

Sin embargo, no todos los contagios (en el sentido amplio de transmisión de una cierta característica local de un nodo a otro) siguen el patrón simple descrito anteriormente. Por ejemplo, cuando el objeto del contagio es un cambio de hábitos sociales o conlleva la realización de actividades controvertidas o de riesgo, la infección no se realiza de un nodo a otro, sino que requiere que se cree una masa crítica de nodos vecinos antes de que un cierto nodo se infecte (e.g., alguien no va a cambiar de dieta porque un conocido lo haga, pero si un gran número de conocidos lo hacen o le sugieren que lo haga, se puede producir el cambio; obviamente, la masa crítica dependerá en cada caso de muchos factores, pero la idea subyacente es esa). Cabe entonces preguntarse si la afirmación de Granovetter, tan rotunda en el poder de los enlaces de larga distancia, sigue siendo aplicable en este caso. Eso es lo que Damon Centola y Michael Macy, de la Universidad de Cornell, han estudiado en un trabajo titulado:

que ha sido aceptado en el American Journal of Sociology. Centola y Macy analizan la difusión de contagios complejos en un tipo concreto de redes de mundo pequeño (retículos anulares en los que algunas aristas se reemplazan por aristas aleatorias). Uno de los conceptos centrales del análisis es el de “anchura de puente”, y que en cierto sentido es complementario al de “longitud de puente” (distancia que cubre el enlace). En esencia la anchura del puente entre un nodo A y un nodo B que comparten vecinos es el número de aristas entre los vecinos comunes de A y B y los vecinos sólidos de B que no lo son de A (la vecindad sólida de un nodo es el mismo más sus vecinos). Esta anchura de puente impone un límite superior a la complejidad de la infección que puede propagarse desde la vecindad de A a la vecindad de B. A una infección simple le basta una anchura de puente mínima (un enlace es suficiente) para saltar de un nodo a otro. Sin embargo, una infección que requiera dos vecinos infectados para infectar a un tercer nodo requiere una anchura de puente 3. Veámoslo con un ejemplo: supongamos A conectado a {G, H, J, K}, y B conectado a {J, K, M, N}; supongamos a su vez que J está conectado a {A, H, K, B}, que K está conectado a {A, J, B, M}, y que M está conectado a {B, K, N, O}. Los vecinos comunes de A y B son {J, K}, y el puente estaría formado por las aristas J-B, K-B, K-M (i.e., anchura 3). Si toda la vecindad de A está infectada, entonces las aristas J-B y K-B infectarían B, las aristas K-M, B-M infectarían M, y las aristas B-N, M-N infectarían N, completando el contagio a toda la vecindad de B.

En general la anchura de puente crítica en este tipo de redes para permitir el paso de un contagio complejo crece cuadráticamente con la complejidad de éste último. Esto quiere decir que un contagio complejo a larga distancia es muy improbable, ya que requeriría que se produjeran muchos enlaces de larga distancia entre los nodos afectados. Esto significa que la aseveración de Granovetter necesita al menos de una cierta matización cuando se tratan situaciones en las que el patrón de contagio es complejo. Más aún, la topología óptima de la red dependerá de este patrón. Esto es algo que debe ser tenido en cuenta en, por ejemplo, las campañas públicas de concienciación sobre temas sociales o de salud. ¿Sabrán algo de esto en los Ministerios? Seguro que sí.

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