La Singularidad Desnuda

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Transformaciones de Möbius en vídeo

Posted by Carlos en junio 30, 2007

Las transfomaciones de Möbius son una familia de correspondencias geométricas con numerosas aplicaciones prácticas. Básicamente, la idea de las transformaciones es asociar cada punto de un cierto objeto bidimensional con otro cierto punto del plano. Esto se consigue mediante una función del tipo

f(z) = \frac{az+b}{cz+d}

donde z, a, b, c, d son números complejos, y adbc ≠ 0. Ajustando los valores de los coeficientes se pueden realizar traslaciones, rotaciones, dilataciones, o inversiones. Estas transformaciones nos pueden ser útiles por ejemplo a la hora de confeccionar un modelo de malla de la superficie de un objeto complejo: se encuentra la transformación de dicha superficie a un área cuadrada, se realiza una malla regular sobre la misma, y se transforma de manera inversa dicha malla. Relacionado con esto, también hay aplicaciones en neurología, realizando transformaciones de la superficie cerebral al plano, y analizando las unidades funcionales del cerebro sobre dicha proyección.

Este tipo de transformaciones pueden parecer complejas, pero como otros tantos conceptos matemáticos tienen una profunda simplicidad cuando se las estudia desde el punto de vista adecuado. Esto es lo que nos ilustra visualmente este magistral video, al que he llegado a través de Good Math, Bad Math. Todas las transformaciones de Möbius puede caracterizarse mediante operaciones simples sobre una esfera. Pasen y vean.

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