La Singularidad Desnuda

Un universo impredecible de pensamientos y cavilaciones sobre ciencia, tecnología y otros conundros

Archive for the ‘Matemáticas’ Category

Cinemática al estilo Gloria Gaynor

Posted by Carlos en septiembre 8, 2008

El viernes pasado hablábamos de Usain Bolt y de cómo se había realizado una proyección de su récord de 100m lisos. El análisis se basaba en la determinación de su curva de posición en función del tiempo, y el cómputo a partir de ella de la curva de velocidad y de aceleración (deshaciendo luego el camino tras haber modificado esta última bajo diferentes suposiciones). Al hilo de esto, el siguiente vídeo puede resultar ilustrativo de los rudimentos de cinemática empleados al efecto.

Verdaderamente la voz no acompaña al cantante, pero hay que reconocer que alcanzan alta puntuación en estética nerd, y que la letra tiene gracia.

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Calculadoras vintage: Y Chandrasekhar tomó su Brunsviga

Posted by Carlos en septiembre 1, 2008

Vintage Calculators es una web con información sobre calculadoras antiguas, esos dispositivos que tanto nos facilitaron la vida durante el siglo XX. Acostumbrados como estamos a dispositivos programables con capacidades gráficas (cuando no directamente a ordenadores de bolsillo en los que la calculadora es una mera aplicación más), y a pesar de que todavía no es extraño encontrarse por ahí con calculadoras financieras, o con enormes (y simples) calculadoras de sobremesa como producto de mercadotecnia, resulta evocador contemplar los vetustos -pero eficacísimos- dispositivos de cálculo de otros tiempos. La web tiene una extensa colección fotográfica de modelos de todo tipo, ordenados alfabéticamente. También hay descripciones más extensas de modelos destacados en diferentes categorías: calculadoras mecánicas, de sobremesa, de bolsillo, no decimales, y compañías fabricantes. De entre todas éstas, me ha llamado la atención la descripción de un modelo concreto: la Brunsviga 10.

Calculadora Brunsviga 10

Calculadora Brunsviga 10 (credit: Nigel Tout)

Esta calculadora es un dispositivo mecánico que se usó fundamentalmente a lo largo de los años 30. Fue precisamente una calculadora de esta marca (y presumiblemente este mismo modelo a juzgar por las fechas, aunque no he podido encontrar información más precisa al respecto) la que empleó Chandrasekhar en la resolución numérica de las ecuaciones de estado para enanas blancas de diferentes tamaños. Esto nos da una mejor idea de la magnitud del trabajo que tuvo que llevar a cabo. La Brunsviga 10 era un aparato similar a una de esas antiguas cajas registradoras, con un acumulador de 10 dígitos, un peso de 3 kg y el tamaño de un maletín. A pesar de que para la época era un dispositivo que se puede considerar puntero (por cierto, el logo de la compañía tiene un aspecto deliciosamente retrofuturista), es fácil comprender lo pesado que debió ser el proceso de cálculo que Chandrasekhar llevó a cabo, sobre todo si vemos uno de los agradecimientos que incluyó en su artículo:

“Estoy en deuda con el Dr. Comrie y con el Sr. Sandler por el préstamo de una copia manuscrita de una tabla de sinh-1 x con siete dígitos significativos.”

Dado el coste de realizar los cálculos, Chandrasekhar dejó a su vez tablas manuscritas de los mismos en la biblioteca de la Royal Astronomical Society. Hay que añadir que la Brunsviga era propiedad de Eddington, que no sólo se la prestó a Chandrasekhar, sino que acudió muchas veces a visitarlo e interesarse por el desarrollo de los cálculos. Éste fue uno de los motivos -quizás el principal- por los que el posterior y sorpresivo ataque de Eddington a los resultados de Chandrasekhar provocó a este último una profunda tristeza e irritación.

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La esencia de la Ciencia es …

Posted by Carlos en junio 13, 2008

(Si la resolución horizontal de tu pantalla es de 1024 píxels o menor, haz click sobre la imagen para ver el desenlace final).

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Modelos antrópicos de evolución y aparición de vida compleja

Posted by Carlos en abril 30, 2008

Siempre que se considera la posibilidad de existencia de vida fuera de la Tierra y se intenta cuantificarla, es inevitable tener en cuenta el sesgo observacional que nuestra propia existencia como observadores introduce. Dada la diversidad y abundancia de formas de vida que nos encontramos en la Tierra, y dada la enorme escala del Universo, la idea de que no haya vida (simple, compleja o incluso inteligente) en ningún otro lugar suele repeler nuestra intuición. Con independencia de que nuestra intuición esté o no en lo cierto, es indudable que el hecho de que estemos aquí es la consecuencia de toda una serie de circunstancias de índole cosmológica, astronómica, geológica, y biológica. Centrándonos en este último aspecto, somos el resultado de un largo camino evolutivo a lo largo del cual han tenido lugar eventos de mayor o menor probabilidad. La hipótesis de la Tierra Rara, formulada como reacción a la aparente paradoja de Fermi, nos indica que algunos de estos eventos han de ser bastante improbables, y el análisis de las implicaciones que ello conlleva arroja consideraciones que pueden ser de gran interés.

Un estudio de este tipo ha sido realizado por Andrew J. Watson, de la Universidad de East Anglia, en un trabajo titulado

que acaba de ser publicado en Astrobiology. Este trabajo estudia la distribución de este tipo de eventos “improbables” y muestra como puede establecerse una correspondencia razonablemente sólida (en términos probabilisticos) con las principales transiciones evolutivas de las que tenemos constancia. El artículo de Watson comienza con una observación a la que no siempre se le presta la debida atención: ya hemos cubierto aproximadamente el 80% de la ventana temporal durante la cual la Tierra ha sido y será habitable (para formas de vida compleja). El mantenimiento de la biosfera depende entre otros factores de que la temperatura no supere un umbral de en torno a 50ºC, y de que la concentración de CO2 sea al menos de unas 10 ppm. Por lo que conocemos de la futura evolución de la luminosidad del Sol y de los ciclos del CO2 atmosférico, en un periodo de 1.0±0.5 Ga (1Ga=1000 millones de años) las condiciones dejarán de ser aceptables.

El hecho de que la vida inteligente haya surgido en una fase tardía del periodo de habitabilidad de la Tierra sugiere que no es un fenómeno sumamente probable a priori (o de manera más precisa, el hecho de que no haya surgido en una fase temprana no apoya que el surgimiento de vida inteligente sea un fenómeno muy probable). Watson elabora en este sentido un modelo de Brandon Carter en el que se asume la existencia de un número n de pasos críticos, cada uno con una probabilidad por unidad de tiempo λi. La criticidad de estos pasos se traduce en el hecho de han de darse de manera consecutiva, y de que si th es el tiempo de habitabilidad de la Tierra, entonces λith<<1. En estas circunstancias, puede demostrarse que la probabilidad de que se hayan producido los n pasos tras un tiempo t es

P_{n/n}(t) \approx L \prod_{i=1}^n \lambda_it^{n-1}

Si se ajusta la constante K  al hecho conocido a posteriori de que existimos sobre la Tierra, obtenemos

P_{n/n}(t) = nt^{n-1}t_h^{-n}

Calculando la esperanza matemática del momento t en el que se realizan los n pasos críticos se obtiene

E[t_{n/n}] = \frac{n}{n+1}t_h

Suponiendo que la Tierra empezó a ser habitable hace unos 4 Ga y que lo seguirá siendo 1 Ga más, lo anterior sugiere que ha habido 4 pasos críticos en nuestro caso, aunque esto depende mucho de la estimación futura (si la Tierra sólo fuera habitable 0.5 Ga más, n podría ser 8). En cualquier caso, el resultado más interesante puede ser que el tiempo esperado hasta que se dé el paso m-ésimo es

E[t_{m/n}] = \frac{m}{n+1}t_h

esto es, los eventos críticos suceden en promedio a intervalos regulares dentro de la ventana de habitabilidad (siempre con la condición a posteriori de que se satisfagan todos dentro de la misma). Bajo esta premisa, puede evaluarse la criticidad de eventos evolutivos históricos sobre la base de cuál es la probabilidad de que se dieran en el momento en el que lo hicieron (ya que se tiene una estimación de la distribución de probabilidad de los eventos críticos para un número cualquiera de los mismos). Así, un modelo basado en 7 pasos críticos indica que la aparición de código genético o de reproducción sexual habrían ocurrido de manera excepcionalmente temprana para lo que cabría esperar. Sin embargo, un modelo de 5 pasos críticos encaja bastante bien. Dichos pasos críticos serían:

  1. Aparición del código genético (establecimiento del flujo de información clásico determinado por el dogma central de la biología), ocurrido hace unos 3.5 Ga, lo que resulta en una probabilidad del 41%.
  2. Aparición de los eucariotas, ocurrido hace 2.5-1.5 Ga, lo que arroja una probabilidad del 66%.
  3. Reproducción sexual, ocurrida también hace 2.5-1.5 Ga, lo que indica una probabilidad del 32%.
  4. Diferenciación celular, ocurrida hace 1.0-0.6 Ga, lo que arroja una probabilidad del 41%.
  5. Transición de primates a humanos modernos hace 0.001 Ga, lo que resulta en una probabilidad del 33%.

Este análisis -además de apoyar la hipótesis de la tierra Rara- proporciona algunas indicaciones sobre lo que cabe esperar de la vida fuera de la Tierra. En primer lugar, la abiogénesis parece un evento probable, con un tiempo esperado de ocurrencia de 0.1 Ga. Sin embargo, el desarrollo de vida compleja es mucho más improbable. Por lo tanto, podría esperarse que el Universo estuviera lleno de formas simples de vida, similares a los procariotas, pero sólo podría esperarse la existencia de formas complejas de vida en los raros casos en los que la secuencia de pasos necesarios se hayan dado. Si además llegan a ser inteligentes, posiblemente llegarán también a esta misma conclusión.

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Canción matemática de amor

Posted by Carlos en enero 26, 2008

Vía Cambalache acabo de ver una canción romántico-matemática sencillamente genial. Éste es el vídeo de la misma, cantada a cappella por The Klein Four, un grupo de geeks estudiantes de matemáticas de la Northwestern University. La letra original en inglés y una traducción al español pueden verse en Cambalache, aquí y aquí respectivamente. La narración es sumamente ingeniosa, y me encanta el gesto del cantante principal para el Q.E.D. final (me lo apunto para ponerlo en práctica).

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¿Merece la pena construir un escudo anti-asteroides?

Posted by Carlos en enero 23, 2008

Parece que al final nuestra esperanza de ver a 2007WD5 impactar contra la superficie de Marte se disipa, y aunque sólo sea por unos 26,000 km el asteroide pasará de largo. Según las estimaciones actuales de su trayectoria, no hay tampoco riesgo de colisión con Marte o con la Tierra en el próximo siglo, lo que nos da un colchón de seguridad (al menos en lo que a este asteroide respecta) para hipotetizar un poco, y plantearnos que habría pasado si este asteroide hubiera llevado rumbo de colisión no con Marte, sino con la Tierra. Indudablemente, hay poco que hubiéramos podido hacer al respecto , ya que en el momento carecemos de protección efectiva contra asteroides. Se han propuesto diferentes estrategias al respecto (véase un informe reciente de la NASA [pdf, 771KB]), ya sea para destruir un posible objeto en trayectoria de impacto, o para desviar su curso, pero por el momento no se ha intentado poner en funcionamiento ningún sistema de protección anti-asteroide, en parte por limitaciones tecnológicas, y en parte por limitaciones prácticas. Esto nos lleva a la siguiente cuestión: ¿merece la pena construir un escudo anti-asteroides de estas características?

Asteroid deflection (M Vasile et al, University of Glasgow)
Credit: M Vasile et al, University of Glasgow

En principio parece que la respuesta obvia a la anterior cuestión es que sí, y de hecho ésa sería la respuesta correcta si no hubiera otras variables en juego. Sin embargo, estamos en un mundo de recursos limitados, por lo que para determinar si merece la pena un sistema de protección contra asteroides (o cometas) hay que realizar al menos una estimación de los costes y beneficios de tal sistema, y ponerlo a la par con otros riesgos existenciales a los que la Tierra o la Humanidad está sujeta (enfermedades, cambios climáticos, etc.). Aunque una estimación de estas características pueda parecer extraña, máxime si consideramos por ejemplo eventos de impacto con alto riesgo (o incluso seguridad) de extinción total, hay que partir de la base que dichos eventos son de naturaleza estocástica, y que cuanto mayor es el riesgo del impacto, menor es su probabilidad. Pudiera ser entonces que la prevención de un riesgo fatal pero improbable consumiera recursos necesarios para la prevención de otros riesgos menos serios, pero mucho más probables.

Un análisis de estas características ha sido realizado por Jason G. Matheny, un estudiante doctoral del Departmento de Salud Pública y Gestión de la Johns Hopkins University, en un trabajo titulado

publicado en Risk Analysis, y del que puede verse una versión preliminar aquí. Matheny parte de la base de que el coste de un sistema de protección como el reseñado puede estar entre 1G$ y 20 G$ (hay un informe de 2006 de la NASA en ese sentido que puede verse aquí [¡cuidado, pdf de 22MB!]). Supongamos además que ese sistema de protección tiene una eficacia pe=0.5 (i.e., con una probabilidad del 50% destruiría o desviaría un objeto en rumbo de colisión con la Tierra) y una vida de un siglo. Una circunstancia muy importante que no puede ser obviada aquí hace referencia a que si efectivamente el sistema tiene éxito y evita una colisión con riesgo de extinción, no sólo se salvan las vidas de los habitantes actuales de la Tierra en ese momento, sino también las de todos sus descendientes futuros. Necesitamos entonces una estimación del patrón de crecimiento de la población. Por simplicidad puede suponerse que la población terrestre se estabilizará en unos P=1010 habitantes, y que perdurará en el tiempo T=1-2 millones de años (Matheny considera 1.6 millones, que fue lo que sobrevivió el homo erectus). Estaríamos hablando entonces de PT=1.6·1016 años-vida. Si consideramos la posibilidad de un impacto durante este siglo, en el caso de un objeto de 10 km (capaz de causar la extinción de la humanidad), rondaría pa=10-6. Por lo tanto, la esperanza del número de años-vida que se podrían salvar es PTpape=8·109 años-vida. Si el sistema cuesta 20 G$, el coste efectivo es de 2.5$ por año-vida.

Esta cifra puede parecer ridícula, sobre todo si se compara con el gasto sanitario, que en la UE supera los 2,000€ por persona y año. Esto es lo que hace Matheny precisamente, pero esta comparación requiere varios matices. En primer lugar sólo son cifras comparables si se asume que ese gasto sanitario se mantendrá constante de aquí al final de la existencia de la especie humana. En segundo lugar, es cuestionable que esas vidas futuras deban contabilizarse al mismo nivel que las vidas actuales, o la de nuestros descendientes directos (no es lo mismo un hijo o un nieto, que un hipotético tatara…(n)…nieto en grado milésimo). Esta segunda circunstancia sí que es tenida en cuenta por Matheny, que presenta un análisis en el que se introduce una depreciación de estas vidas futuras. Una depreciación de un 1% anual de las vidas futuras conduce a un coste ajustado de 40,000$ por año-vida. Esto ya es claramente superior al coste sanitario, pero quizás esa depreciación pueda parecer excesiva (implica que una vida actual vale lo mismo que diez mil millones de vidas dentro de 2300 años). En cualquier caso, si jugamos con los números podemos ver que incluso una depreciación de sólo el 0.05% conduciría a una cifra similar a la del gasto sanitario. Esta depreciación del 0.05% sería consistente con una estimación de que la especie humana no alcanzaría 20,000 años más de existencia con un 99.99% de probabilidad.

Matheny recurre a un modelo de depreciación alternativo en el que a partir de los 300 años no se produce reducción de valor de los años-vida, y llega a un coste ajustado de 140.65$ por año-vida, lo que le lleva a afirmar la utilidad relativa de un sistema de protección contra asteroides, o al menos la relativa baja dotación presupuestaria que se le da a la puesta en marcha del mismo. Personalmente encuentro este argumento incompleto, ya que no tiene en cuenta el coste de oportunidad de esa inversión, y lo que ésta supondría en años-vida futuros [Excel, 862 KB] si se dedicara por ejemplo a la investigación médica. No disponer de un escudo anti-asteroides es jugar a la ruleta rusa, pero también lo son las diferentes enfermedades que cada año acaban con casi el 1% de la población mundial, y para estas últimas el tambor tiene muchos menos huecos. Quizás haya que buscar soluciones de compromiso e invertir en la detección temprana de objetos susceptibles de presentar riesgo de impacto, maximizando de esta manera el tiempo de reacción.

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Conocimiento Peligroso: Cantor, Boltzmann, Gödel, Turing

Posted by Carlos en enero 21, 2008

Dangerous Knowledge - BBC“Conocimiento Peligroso” (“Dangerous Knowledge“) es el título de un documental de la BBC sobre cuatro grandes genios de las matemáticas cuya salud mental se deterioró durante el curso de su carrera científica, y que acabaron suicidándose: Georg Cantor, Ludwig Boltzmann, Kurt Gödel y Alan Turing.

La hipótesis subyacente en el documental es que de alguna manera fue la extrema brillantez de estos matemáticos la que les causó en última instancia la locura y el suicidio, debido a una progresiva inmersión en el mundo matemático que estudiaban, y a la interiorización de las implicaciones filosóficas de los resultados que obtuvieron. Se trata de una hipótesis un tanto simplista ya que no tiene en cuenta las azarosas circunstancias personales que rodearon la vida de cada uno de ellos, aunque ciertamente es posible que la forma en la que se volcaron hacia la investigación matemática jugara también su papel para el desenlace final. Es en cualquier caso una buena excusa para ver retazos biográficos de estas cuatro figuras de la ciencia.

El documental está disponible en YouTube organizado en 11 fragmentos, cada uno de entre 5-8 minutos de duración:

  • El Mensajero de Dios: Georg Cantor (1, 2, 3)
  • El Genio del Desorden: Ludwig Boltzmann (4, 5, 6)
  • Los Límites de la Lógica: Kurt Gödel (7, 8)
  • El Enigma: Alan Turing (9, 10, 11)

Un aspecto interesante del documental son los comentarios de algunos científicos relacionados con el tema, como Roger Penrose y Gregory Chaitin. Es divulgativo y poco profundo, pero entretenido de ver de rato en rato.

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España en el ranking europeo de excelencia universitaria

Posted by Carlos en enero 8, 2008

Vía Backreaction he encontrado un estudio realizado por el Centro para el Desarrollo de la Educación Superior (CHE), un think-tank alemán dedicado al análisis de los sistemas e instituciones de educación superior. Se trata de un trabajo sobre la excelencia universitaria en Europa, y como ya ocurrió con el conocido Informe PISA [pdf], España no termina de salir bien parada.

El estudio ha estudiado la calidad de las universidades europeas en ciencias naturales (física, química, biología) y matemáticas, desde una perspectiva basada en la investigación. Han considerado cuatro indicadores de calidad:

  • Número de publicaciones en la Web of Science (1997-2004)
  • Número de citas bibliográficas (excluyendo auto-citas y normalizando a la media del área).
  • Número de investigadores sobresalientes (que hayan ganado un Premio Nobel o Medalla Fields, o que aparezcan en los Highly Cited Researchers 1984-2003).
  • Número de proyectos Marie Curie (en el 6º Programa Marco).

Para cada uno de estos indicadores, se asigna una “medalla de oro” a las instituciones que están en el primer cuartil de la medida correspondiente, una “medalla de plata” a las que están en el segundo cuartil, y una “medalla de bronce” a las que están por debajo de la mediana, pero por encima de la media. La figura inferior muestra el acumulado por países, y la distribución de oros, platas y bronces.

Ranking Europeo Excelencia Universitaria (por puestos)

Como puede verse, el Reino Unido es el claro vencedor con un 23.4% de las medallas (Alemania tiene un 23.1% del total, pero sólo la mitad de los oros del Reino Unido). España está en el octavo puesto, no sólo detrás de los cuatro grandes (Reino Unido, Alemania, Francia e Italia), sino detrás de Holanda, Suecia y Suiza. Si nos vamos a la distribución por áreas (mostrada en la figura inferior), resulta sorprendente el mal papel en términos relativos de la biología, y cómo la química salva un poco la cara de España.

Ranking Europeo Excelencia Universitaria

El informe completo puede verse aquí [pdf]. El palo no es ciertamente tan fuerte como con el Informe PISA, pero da que pensar. También es verdad que no se trata de un estudio realizado por un organismo oficial, y que la medida de calidad es básicamente la investigación, que no es el único elemento en el que la Universidad contribuye a la sociedad. Habrá que ponerse las pilas en cualquier caso.

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Protección anti-autorreferencial en la oficina

Posted by Carlos en diciembre 17, 2007

Dilbert y el lápiz autorreferente (c) Scott Adams

Está bien como primer paso para protegerse de las paradojas, pero si no se puede pedir algo que ya se tenga, ¿como se piden los formularios de petición de material? ¿Con un formulario especial para los formularios que no se pueden pedir a sí mismos? Esto me suena familiar

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Ciencia Auténtica

Posted by Carlos en diciembre 8, 2007

Ninguna investigación humana puede ser denominada ciencia auténtica si no se puede demostrar matemáticamente

Leonardo di Ser Piero da Vinci (1452-1519), artista, inventor, arquitecto e ingeniero toscano.

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