La Singularidad Desnuda

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La matemática de [REC]: Análisis de una infección zombi

Posted by Carlos en octubre 12, 2009

Hace unos días se ha estrenado [REC] 2, la secuela de la fantástica [REC] de Jaume Balagueró y Paco Plaza. El argumento es bien conocido: los habitantes de un bloque de viviendas (junto con un par de policias, un par de bomberos y un par de reporteros) deben enfrentarse al estallido de una infección zombi (usando el término “zombi” en sentido amplio). La película es interesante por múltiples motivos, pero vamos a centrarnos en dos aspectos particulares: (1) el edificio está aislado en cuarentena por las autoridades sanitarias, y (2) el equilibrio de fuerzas dentro del edificio va volcándose paulatinamente del lado de los infectados. Estos dos aspectos nos conducen a dos cuestiones fundamentales: la primera en relación con el punto (1) es si la estrategia de las autoridades sanitarias es correcta, y la segunda en relación al punto (2) es si la evolución del sistema hacia el desequilibrio mostrado en la película es realmente inevitable. Se trata de dos cuestiones que aparte de ser interesantes desde el punto de vista geek/nerd, constituyen un buen experimento mental con posibles aplicaciones a infecciones de carácter más mundano.

[REC]

Dar respuesta a estas cuestiones requiere modelar el problema como un sistema dinámico, de manera similar a como se realiza en ecología, epidemiología, etc. y ver cómo evoluciona en el tiempo. Un análisis de estas características es precisamente el realizado por Philip Munz y colaboradores, de la Carleton University y de la Universidad de Ottawa, en un trabajo que lleva por título:

y que forma parte del libro Infectious Disease Modelling Research Progress, editado por J.M. Tchuenche y colaboradores en Nova Science. Munz et al. consideran varios modelos de complejidad cada vez mayor para estudiar el sistema. En el primero y más básico se consideran tres tipos de sujetos:

  1. Los seres humanos “normales”, susceptibles (s) de convertirse en zombies.
  2. Los zombis (z).
  3. Los sujetos “retirados” (r), esto es, seres humanos que mueren por causa natural.

Inicialmente se parte de una población de sujetos susceptibles, sin zombis ni retirados, y a partir de ahí se produce un flujo de sujetos de una a otra categoría:

  • Un ser humano puede nacer (con tasa π), morir de causa natural y pasar a retirado (con tasa δ), o convertirse en zombi tras ser atacado por uno de estos (con tasa β, y proporcional a la población de zombis).
  • Un zombi puede pasar a retirado si un humano lo vence en un enfrentamiento (con tasa α).
  • Un sujeto retirado puede convertirse en zombi (con tasa ς).

Esto nos lleva a un sistemas de ecuaciones diferenciales que describe el sistema:

\begin{array}{rcl} ds/dt & = & (\pi-\delta) s - \beta sz \\ dz/dt & = & (\beta-\alpha) sz + \zeta r \\ dr/dt & = & \delta s + \alpha sz - \zeta r \\ \end{array}

Si se analiza el sistema de ecuaciones en una escala de tiempo muy corta en la que no se llegan a producir nacimientos ni muertes naturales (π=δ=0), la primera ecuación diferencial sugiere dos posibles estados estacionarios (S,Z,R): el primero (S,0,0) es aquel en el que no hay zombis; el segundo (0,Z,0) es el apocalipsis zombie (toda la población acaba infectada). Lamentablemente el análisis del Jacobiano del sistema en estos puntos estacionarios indica que la primera solución no es estable, pero la segunda sí, por lo que basta un pequeño empujón para que el sistema ruede cuesta abajo hacia el apocalipsis zombi.

Hay algún aspecto cuestionable en el sistema anterior, como por ejemplo el hecho de que los zombis destruidos pasen a la categoría de retirados y puedan “reciclarse” en zombis de nuevo. Si eliminamos el término αsz de la tercera ecuación no alteramos sin embargo el resultado anterior, al menos desde el punto de vista cualitativo. No obstante, vamos a tener en cuenta esta modificación del modelo de Munz et al. en lo sucesivo.

Para acercarnos más [REC] el siguiente paso es considerar ahora un modelo de infección latente. Munz et al. modelan esto como una nueva clase -infectados (i)- a la que llegan los susceptibles que son mordidos por un zombie, y de la que salen aquellos infectados que se transforman en zombis (con tasa ρ), y aquéllos que mueren antes de transformarse (con tasa δ, como los susceptibles). Con la modificación mencionada antes en relación a los “retirados” nos queda:

\begin{array}{rcl} ds/dt & = & (\pi - \delta)s -\beta sz \\ di/dt & = & \beta sz - (\rho + \delta) i \\ dz/dt & = & \rho i + \zeta r - \alpha sz \\ dr/dt & = & \delta (s + i) - \zeta r \\ \end{array}

En este escenario la situación es idéntica en el escenario π=δ=0, esto es, no pueden coexistir humanos y zombies, y sólo el apocalipsis zombi es una solución estable. Si realizamos una simulación numérica puede apreciarse el comportamiento cuantitativo del sistema. La siguiente gráfica corresponde a los parámetros π=δ=1/10 000 (tasas iguales de nacimiento y muerte natural), ς= 1/10 000 (tasa de zombificación de retirados), α=1/200 (tasa de destrucción de zombies), β=1/100 (tasa de infección), y ρ=1/200 (tasa de zombificación de infectados):

modelo-infeccion

Nótese como el número de zombis libres es durante la fase inicial del estallido muy bajo, aunque suficiente para inducir una infección latente descontrolada. Eventualmente el número de individuos sanos cae abruptamente, momento en el que el número de infectados deja de crecer y comienza el apocalipsis zombi, ya sin humanos sanos para hacerles frente. Una variante de este modelo es asumir que los infectados permanecen activos en la población, teniendo encuentros con los zombis y contribuyendo a su erradicación mientras no se consume la transformación. En ese caso, el resultado final sigue siendo un apocalipsis zombi, aunque más tardío, y con un número final de zombis mucho más bajo.

Introduzcamos ahora el siguiente factor de [REC], la cuarentena. Munz et al. modelan una nueva clase -cuarentena (q)- a la que llegan tanto sujetos infectados como zombis, y de la que salen únicamente los sujetos que intentan escapar y son eliminados, pasando a la categoría de retirados. Vamos a modificar esto ligeramente, suponiendo que la cuarentena efectivamente retira de la circulación a los sujetos aislados (vivos, muertos o infectados), sin posibilidad de que vuelvan a la categoría de retirados.

\begin{array}{rcl} ds/dt & = & (\pi - \delta)s -\beta sz \\ di/dt & = & \beta sz - (\rho + \delta + \kappa) i \\ dz/dt & = & \rho i + \zeta r - \alpha sz - \sigma z \\ dr/dt & = & \delta (s + i) - \zeta r \\ dq/dt & = &  \kappa i + \sigma z \\ \end{array}

Incluso en este caso, el apocalipsis zombi es prácticamente inevitable, si bien la cuarentena puede retrasar bastante el progreso de la infección. Munz et al. consideran un modelo adicional en el que es posible curar (pero no vacunar) a los zombis, y en este caso se alcanzan situaciones de equilibrio en las que coexisten zombis y humanos sanos (no es un escenario agradable, pero es mejor que el apocalíptico).

Sea como fuere, e incluso sin cura, podría haber otro tipo de estrategias ganadoras. Una de las claves de las simulaciones es el equilibrio demográfico de la población sana. En el momento en el que se comienza a producir la infección empieza el descenso de individuos sanos y tarde o temprano tiene lugar el apocalipsis zombi. Aumentar la tasa de nacimientos retrasa el proceso pero no lo evita. Para ello es preciso combinar un aumento de esta tasa de nacimientos con aumento de la tasa de destrucción de zombies. Bebés y lanzallamas, es una receta que nunca falla.

12 comentarios to “La matemática de [REC]: Análisis de una infección zombi”

  1. Ferguson said

    No! Lanzallamas no! Que en vez de zombis habría que luchar contra antorchas humanas caminantes que incendian todo!

  2. Carlos said

    Ale, pues entonces blasters ultrasónicos y vaporizadoras como la de CSI Miami. Y los niños que jueguen al Doom y al Resident Evil desde la guardería, para que aprendan lo importante.

  3. Marsupilami said

    Uh, yo no he visto las pelis, pero ¿de qué se alimentan unos y otros?

    Si los zombies necesitan de alguna manera a los humanos para su subsistencia, entonces el apocalipsis zombie no es tan claro: muchos zombies con pocos humanos significa que muchos zombies mueren de hambre, etc.

    Incluso en la hipótesis anterior el escenario 0 humanos significa 0 comida para los zombies y por lo tanto la muerte de estos.

    ¿De qué se alimentan los humanos, hay suministro de comida desde el exterior de la cuarentena?… si no lo hay, los humanos desaparecen incluso sin zombies.

    En fin, espero haber aportado algo, gracias por el post.

  4. alsant said

    Marsupilami, entonces los zombies montarían una granja de humanos y listo.

  5. kynu said

    Marsupilami, el zombie no digiere lo que engulle por lo tanto no le aporta nada el comer o no cualquier cosa, sea este un humano o un animal.

    Alsant, esa seria la mejor solucion para este tipo de catastrofes😄

  6. Orlando said

    Sería interesante saber a partir de qué tasa α de retirada de zombis es posible evitar el apocalipsis… más que nada por ir haciendo cuentas😛

  7. Carlos said

    Es complicado dar un valor umbral de α ya que las ecuaciones no son lineales y se combinan varios factores. Los infectados crecen dependiendo de βsz, y se van convirtiendo paulatinamente en zombis, por lo que intuitivamente un α < β sería inadecuado (lo malo es que en escenarios de "zombis rápidos" como en [REC] o "28 semanas" es mucho más complicado que el humano salga vencedor de un ataque). En el ejemplo de la infección mostrado en la gráfica, si se toma α = β se ralentiza el apocalipsis zombi en un factor de aproximadamente 2, y si α = 2β en un factor de aproximadamente 8. En este segundo caso, si la tasa de nacimientos triplica a la de muertes naturales se consigue una situación de equilibrio, con una infección crónica por debajo del 4% de la población.

  8. panta said

    Tengo que leerme esto despacito porque promete.
    Saludos

  9. Carlos said

    Ecuaciones diferenciales y zombies es un cóctel con encanto😉

  10. Javi Oribe said

    Como cualquier experto en zombies nos confirmaría, es esencial saber si los zombies son del tipo “Zombi Embrutecío” como los de “Dawn of the Deads” o del tipo “Zombi Lentorro” rollo “Shaun of the Deads”, ya que como bien explica Carlos es un dato clave para saber si podríamos sobrevivir.

    Por tanto también es fundamental abrir líneas de investigación para encontrar una forma de transformar masivamente zombies embrutecíos en lentorros, de esta manera nuestras posibilidades de supervivencia al apocalipsis zombi aumentarían bastante.

    Para comprender bien esta diferencia, ahí va un vídeo explicativo:

    Hablaremos con el Ministerio de Asuntos Freaks

    Saludos!

  11. Valeria said

    Apa! Resulta que estaba escuchando ‘Beds are burning’ de Midnight Oil y me dio por escribir una entrada en mi blog, no? Entonces me puse a buscar referencias y me topé con el tuyo -hace como un año y por aquí, decías más o menos lo que yo pensaba decir ahora sobre la canción (sí, tendré que citar tu entrada, supongo)-. Bueno, cuestión que me engancho y leo el último de tus posts, éste…y me da un ataque de risa. No sé si es que no seré lo suficientemente nerd o friki, pero la cosa es que jamás iría a ver REC2, con lo que el escenario con la curva Zombi me ha dejado totalmente pasmada con tu ‘chispa científica’ (me alegro de que termine cayendo la de los susceptibles). En dos palabras: Im-presionante!

    Cuando se me pase el ataque de risa, prometo volver asiduamente a tu blog.

  12. Carlos said

    ¡Gracias, Valeria! Analizar la evolución de una infección zombi es como estudiar la fisiologia de los Sarlacc, o los hipermotores de la USS Entreprise: se trata de un trabajo geek, pero alguien tiene que hacerlo😉 . Un saludo y espero volver a leerte por aquí.

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