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Equilibrios de poder en la Unión Europea: El método de Penrose

Posted by Carlos en junio 21, 2007

Tras el fiasco del proyecto de constitución europea, durante los últimos días está habiendo cierta discusión en los medios de comunicación sobre el relanzamiento de las conversaciones entre los países de la UE para alcanzar un nuevo acuerdo de mínimos que sustituya al vigente Tratado de Niza. Una vez abierto el melón de las discusiones, una de las cuestiones que se ha puesto sobre la mesa es el sistema de toma de decisiones. Mientras países como Alemania o Francia dan por sentado que se mantendrá el que figuraba en el fracasado proyecto de constitución, Polonia está haciendo una defensa numantina de un sistema basado en la raíz cuadrada de las poblaciones de cada país. Merece la pena detenernos en esto, ya que en algunos medios se ha llegado a tratar esta propuesta como una “martingala”, y poco más o menos se ha venido a sostener que Polonia propone la raíz cuadrada como podría proponer el coseno hiperbólico si le conviniera más. Dejando de lado que obviamente cada país defiende sus intereses (y que en este caso los de Polonia y España son teóricamente parejos por tratarse de países con casi la misma población), el método de la raíz cuadrada no es una boutade ni muchísimo menos. Es de hecho el denominado método de Penrose, y tiene su justificación matemática.

Empecemos por considerar algunas de las afirmaciones que de manera más o menos explícita suelen hacerse al discutir un sistema de toma de decisiones:

  1. La influencia de un país es proporcional a su número de votos.
  2. Si se aumenta el número de votos de un país, su influencia siempre aumentará.
  3. Si el número de votos de un país es proporcional a su población, el poder decisorio de cualquier ciudadano de la Unión es el mismo.
  4. Es muy difícil definir un sistema de toma de decisiones que sea objetivo, simple, representativo y eficiente.

De todo lo anterior surge el mecanismo que se proponía en el proyecto de constitución europea, con su sistema de doble mayoría (55% de países, 65% de población), y que se presentaba como representativo. Sin embargo, es fácil ver que las anteriores hipótesis de partida son falsas:

  1. La influencia de un país no es proporcional a su número de votos. Por poner un ejemplo, en una situación en la que hubiera cuatro países A, B, C y D, donde A tiene 7 votos, B tiene 6, C tiene 5, y D tiene 2 votos, este último no tiene influencia en absoluto. Cualquier coalición entre dos de los países grandes (A, B y C) tiene mayoría. Incluso si se pide una cierta mayoría cualificada puede producirse una situación de este tipo (y de hecho era el caso de Luxemburgo en la Comunidad Económica Europea, de 1958 a 1972).
  2. Un país puede aumentar su número de votos, pero disminuir su influencia. Por ejemplo, si en la situación anterior se le quitan 5 votos a B, y se le dan 4 a A y 1 a C, este último tiene más votos (pasa de 5 a 6), pero dado que A tiene mayoría absoluta, la influencia de C no ha aumentado, sino todo lo contrario.

Los dos primeros puntos hacían referencia a cuestiones cualitativas y eran relativamente fáciles de refutar. Para ver por qué el punto 3 es falso, es preciso dar una medida cuantitativa de poder decisorio. Para ello se puede recurrir al denominado índice de poder de Banzhaf. Este índice captura lo que intuitivamente entendemos por influencia o capacidad decisoria: ¿qué capacidad tiene uno de los participantes en la votación de determinar el sentido de la misma? Esto depende obviamente del número de votos que tenga, pero también del de los demás participantes. Podemos entonces considerar todas las coaliciones posibles (si hay n participantes, hay 2n coaliciones), ver cuántas de ellas son ganadoras, comprobar en cuántas de las mismas participa un cierto país X, y ver qué fracción de estas coaliciones ganadoras serían perdedoras si X se pasase al otro bando. Este sería el índice de Banzhaf β del país X. Se puede calcular un índice normalizado para cada país, dividiendo el índice de Banzhaf por la suma de todos los índices de los demás países. Si queremos obtener un índice del poder de un ciudadano de un país cualquiera, tenemos que volver a dividir este índice normalizado por el poder decisorio que dicho ciudadano tiene a la hora de elegir el gobierno de su país (y por lo tanto, de dirigir el sentido del voto del país en la UE). Si N es el número de participantes en una votación (suponiendo circunscripción única, claro), el poder decisorio de cada uno es proporcional a N1/2. Dividiendo entonces el índice de poder de un país por la raíz cuadrada de su población (se asume que la composición demográfica de todos los países es similar, y que por lo tanto la diferencia entre ‘ciudadano’ y ‘votante’ se resume en una constante de proporcionalidad fija), se obtiene el poder relativo de cada ciudadano en la UE.

En la figura inferior se muestran estos valores para los diez países más poblados, tanto para el vigente tratado de Niza, como para lo que se proponía en el proyecto de constitución europea (y que los grandes países más España pretenden mantener). Los valores están normalizados de manera que el poder de un ciudadano alemán sea 1.0.

Poder relativo de cada ciudadano de la UE

Como puede verse, aunque con el modelo de Niza los alemanes están penalizados y tanto españoles como polacos tienen una ventaja comparativa, por lo demás el poder de los ciudadanos de los diferentes países es más o menos similar. Por el contrario, con el modelo que se pretende implantar, un alemán tiene mucho más poder que el resto de los ciudadanos europeos, y esta diferencia se va acrecentando para los ciudadanos de países pequeños (para más inri, la tendencia se invierte para los países diminutos, y un chipriota o un maltés tendrían más influencia que un alemán, y mucho más del doble que un español).

Por la propia definición de la medida de poder individual, está claro que el sistema en el que la influencia de cada ciudadano es la misma sea cual sea su nacionalidad es aquél en el que el peso del país es proporcional a la raíz cuadrada de su población. No es por lo tanto nada descabellado proponer este reparto de poder, que tiene la ventaja adicional de desmentir la consideración inicial número 4 (por ejemplo, si hubiera nuevos miembros admitidos en la Unión, el peso de cada uno sería fácil y objetivamente computable). No es previsible en cualquier caso que este método sea el finalmente adoptado. Parafraseando un célebre adagio, la política tiene razones que la razón no entiende.

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7 comentarios to “Equilibrios de poder en la Unión Europea: El método de Penrose”

  1. Carlos (Tanis) said

    Madre mía, yo creía que todo esto era mucho más sencillo.

    De todas formas, no creo que los presidentes o ministros de turno sepan todas estas cosas; me imagino que habrá alguien detrás de ellos que les dirá: “tú defiende este sistema a vida o muerte” “¿Por qué” “Porque sí, tú hazme caso, que de esto entiendo. Invéntate algo, qué se yo…”

    Saludos.

  2. Carlos said

    Efectivamente, la cuestión del reparto de poder tiene más complejidad de la que aparenta, lo cual le puede venir bien a los políticos de turno para vender como algo positivo una pérdida de cuota de poder. En cualquier caso, tienes toda la razón en que los ministros saltan al ruedo con lo que les hayan dicho los técnicos, sin tener mucha idea del porqué (y eso es lo malo, ya que luego se dedican a cambiar cromos, únicamente con ideas muy genéricas del valor tiene cada uno, con lo que al final la cosa puede ser una loteria -sesgada, eso sí-). Saludos.

  3. Ford Prefect said

    Hola,

    Enhorabuena por el artículo. Bien explicado y muy oportuno.

    El tema fue tratado por el Tio Petros a proposito de unos resultados electorales:

    http://tiopetrus.blogia.com/2004/102201-indices-de-poder.php

    En realidad el problema es mucho más complejo que el planteamiento puramente matemático que se pueda hacer, ya que las probabilidades de que los intereses de dos (o más países) sean coincidentes no son iguales para todas las combinaciones.

    O sea, que si mi indice de poder es alto, pero lo es a costa de que mis intereses tengan que coincidir con Ucrania, Malta y Luxemburgo; casi prefiero quedarme como estoy.

    O si mi indice de poder es alto con un determinado acuerdo, pero ello provoca que un grupo de países (cuyos intereses puedo considerar afines y contrarios a los míos en general) resulte imbatible; parece lógico que me oponga a ese acuerdo ya que, por muy alto que sea sobre el papel mi indice de poder; en la práctica voy a perder casi todas las votaciones importantes.

    Por eso, defender un método de reparto de poder determinado, alegando su supuesta “bondad matemática” (como puede estar haciendo Polonia) es, en el fondo, una falacia.

    Un saludo,
    Ford Prefect

  4. Orlando said

    Muhcas gracias por el enlace, Ford Prefect, es el complemento perfecto para el artículo. ¿Llegaste a enviar el programa? Parece muy interesante…

  5. Carlos said

    Hola Ford. Efectivamente, el análisis del índice de poder de Banzhaf asume independencia en el sentido del voto, cosa que no siempre sucede. Hay un artículo interesante con un análisis de esta circunstancia:

    Werner Kirsch, “On Penrose’s square-root law and beyond“, arXiv:math/0611418v1, 2006

    Esto es una circunstancia más problemática en el caso de los parlamentos nacionales, en la que los partidos reflejan ideologías, y tienen por lo tanto un grado de afinidad. En el caso de la representación nacional en la UE la cosa es más difusa. Es cierto que hay países entre los que puede haber mayor entendimiento, pero también por lo general las coaliciones suelen ser coyunturales (cuestiones económicas, afinidades políticas o personales de los gobernantes, etc.). Hay que tener en cuenta también la expansión de la UE, y cómo se alteraría el equilibrio de poder en ese caso (gran parte del problema para el ingreso de Turquía viene por ahí).

    En cualquier caso, creo que la postura de Polonia (o de Suecia en 2003) no es tanto una falacia como un argumento de conveniencia. Es como el ejemplo de Turquía que mencionaba antes: las objeciones que se plantean a su ingreso son en su mayoría acertadas, pero no tengo dudas de que se correría un tupido velo sobre ellas si no hubiera problemas con el reparto de poder.

    Saludos.

  6. Carlos, eres un genio.

    Gracias por abrirnos los ojos en tantas cosas y en tantos temas.

    Un abrazo

    Paco

  7. Carlos said

    ¡Gracias, Paco! Un abrazo.

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