La Singularidad Desnuda

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Números grandes, pero que muy grandes

Posted by Carlos en marzo 8, 2007

Hablemos de números grandes, y no me refiero por supuesto a millones, billones, o trillones. entonces, ¿decillones, undecillones, duodecillones, …? Esos están mejor, y el patrón con el que se construyen sus nombres está claro, con lo que podemos en principio pensar en números tan grandes como queramos; el problema es que el sistema no es cómodo, y lo nombres se hacen kilométricos eventualmente. Necesitamos entonces otra forma de describir estos números de manera más compacta, y para eso la notación matemática resulta ideal. El primer recurso del que podemos echar mano es de la operación de exponenciación. Por ejemplo,

10^{10^{10}}

o ya puestos

e^{e^{e^{79}}} \simeq 10^{10^{8.85\cdot 10^{33}}}

cantidad esta última conocida como el número de Skewes, y que es enormemente mayor que un googolplex. Por supuesto, nada nos impide continuar apilando exponentes para conseguir números increíblemente grandes, pero nuevamente la notación empieza a hacerse engorrosa. Necesitamos dar otro paso, y para ello vamos a recurrir a la notación sagital de Knuth. Esta notación es una generalización de la exponenciación, que podemos definir recursivamente como sigue:

  1. a\uparrow b= a^b
  2. \begin{matrix}    a\ \underbrace{\uparrow_{}\uparrow\!\!\dots\!\!\uparrow}\ b=     a\ \underbrace{\uparrow\!\!\dots\!\!\uparrow}     \ a\ \underbrace{\uparrow_{}\!\!\dots\!\!\uparrow}     \ a\ \dots     \ a\ \underbrace{\uparrow_{}\!\!\dots\!\!\uparrow}     \ a   \\    \quad\ \ \,n\qquad\ \ \ \underbrace{\quad n_{}\!-\!\!1\quad\ \,n\!-\!\!1\qquad\quad\ \ \ \,n\!-\!\!1\ \ \ }   \\    \qquad\qquad\quad\ \ b\mbox{ copias de }a   \end{matrix}

De acuerdo con esta definición,

a\uparrow\uparrow b = a\uparrow a \uparrow a \uparrow \cdots \mbox{(\emph{b} veces)} \cdots \uparrow a = a^{a^{a^{\cdots^a}}}

donde en la pila de exponentes hay b-1 aes. Como esta notación nos puede hacer perder la noción del tamaño de los números que estamos manejando, consideremos por ejemplo que

3\uparrow\uparrow\uparrow 3 = 3\uparrow\uparrow 3\uparrow\uparrow 3 = 3\uparrow\uparrow( 3\uparrow 3 \uparrow 3) = 3\uparrow \uparrow 7,625,597,484,987

o lo que es lo mismo, una torre de 7,625,597,484,986 exponentes anidados. Se trata de un número que ya no tiene connotación física, y que apenas podemos concebir. Sin embargo, podemos por supuesto ir más allá, y definir números todavía mayores y -lo que es más importante- con relevancia matemática. Para ello, vamos a usar la siguiente abreviatura de la notación sagital:

\begin{matrix} a \uparrow ^{n} b = a\underbrace{\uparrow\uparrow\cdots\uparrow}b \\ \qquad\qquad\quad\ \ n \end{matrix}

Hecho esto, vamos a considerar la siguiente serie:

  1. g_1 = 3\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 3
  2. g_{n+1} = 3\uparrow^{g_n} 3

Para ver en qué términos se mueve esta serie, observemos g1, el primer valor de la misma:
g_1  = 3 \uparrow \uparrow \uparrow (3 \uparrow \uparrow \uparrow 3)  = 3 \uparrow \uparrow \uparrow    \left(      \begin{matrix}        \underbrace{3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{3}}}}}} \\        3^{3^3}      \end{matrix}   \right) = \left.     \begin{matrix}       \underbrace{3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{3}}}}}} & \  \\       \underbrace{3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{3}}}}}}  \\       \vdots & \vdots \\       \underbrace{3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{3}}}}}}  \\       3^{3^3} \\     \end{matrix}   \right \}   \begin{matrix}     \ & \ \\     \underbrace{3^{3^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{3}}}}}} & \mbox{ niveles} \\      3^{3^3} &    \end{matrix}

donde cada llave horizontal indica la altura de la columna de símbolos. De acuerdo con esto, el tamaño de la columna de exponentes final es tal que podemos considerar en primer lugar una torre de 7,625,597,484,986 exponentes. Este número sería a su vez el número de exponentes que consideraríamos en el siguiente nivel, y así sucesivamente durante un número de niveles equivalente a una torre de 7,625,597,484,986 exponentes. Este número no es que escape a nuestra compresión; ni siquiera puede decirse que sea monstruosamente grande. Tendríamos que considerar que dicha monstruosidad es en sí misma absurdamente grande, y aplicar dicha consideración un número brutalmente grande de veces.

Si el paso de tres a cuatro flechas ha sido tan irracionalmente grande, me empiezo a quedar sin adjetivos para describir lo que pasa con g2, esto es, cuando el número de flechas es g1. Nada de lo que diga puede posiblemente describir dicho número de manera comprensible más allá de su propia definición matemática, lo cual es un hecho estremecedor, teniendo en cuenta que existe una aberración denominada el número de Graham, definido como… ¡g64! Lo realmente increíble es que este número ha aparecido en la resolución de un problema del área conocida como Teoría de Ramsey. En dicha área se plantean cuestiones del tipo “¿cuántos elementos ha de tener una cierta estructura para que forzosamente tenga una cierta propiedad?” Para una de estas preguntas relacionada con el coloreado de las aristas de un hipercubo se obtiene una cota superior igual al número de Graham (la cota inferior -mejorada recientemente- es 11, por lo que como apuntaban en 1971 los descubridores del número con indudable gracejo, “hay margen de mejora entre ambas cotas”).

La forma más adecuada para representar números de la magnitud del número de Graham no es ya la notación sagital de Knuth, sino la notación sagital encadenada de Conway. En cualquier caso, quien quiera una descripción sucinta de un número grande puede darle vueltas a la siguiente: “uno más que el mayor número expresable con menos de cien símbolos“.

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9 comentarios to “Números grandes, pero que muy grandes”

  1. Juan David said

    Es increíble que números tan grandes tengan alguna aplicación. Revisando en este artículo de Wikipedia, , creo (Si me equivoco usted me corregirá) que los números más grandes que usted mencionó son mucho mayores que la cantidad de átomos en el Universo.

  2. Que curioso, no conocía la notación esa, parece inimaginable los números tan grandes que se pueden representar con pocos símbolos matemáticos. Por cierto bonito blog ^^, saludos.

  3. Jorge said

    Sobre números grandes hice la traducción del artículo ¿Quién puede nombrar el mayor número?

  4. Carlos said

    Juan David, estás en lo cierto, el número de átomos o incluso de protones está con bastante certeza acotado por un 10^100. Para las cantidades que pueden surgir en el estudio de sistemas físicos -como por ejemplo el tamaño del espacio de fases del universo- probablemente basten de manera cómoda dos niveles de exponenciación (es una consideración a bote pronto, si alguien puede proporcionar alguna corrección, será bienvenida). Incluso si fueran tres o cuatro los niveles necesarios en la práctica para este último caso, esas cantidades siguen siendo insignificantes ya solamente en relación a 3^^^3. Lo que viene después sencillamente aturde…

  5. Carlos said

    Gracias, J. Lo mejor es que dice la Wikipedia que se sugiere el uso de la notación sagital de Knuth sólo para números relativamente menores, y que para los mayores (!) se use la notación sagital encadenada de Conway.

  6. odo said

    Felicidades por el post. Es un tema que me parece realmente fascinante.

    Otro tipo de números grandes muy interesantes y con aplicaciones en teoría de la computabilidad son los dados por la función de Ackermann (muy relacionados con la notación de Knuth) y los números asociados al problema del Busy Beaver:

    http://en.wikipedia.org/wiki/Ackermann_function

    http://en.wikipedia.org/wiki/Busy_beaver

  7. Carlos said

    Jorge, gracias por el link. Veo que coincidimos con la paradoja de Berry. En mi opinión, aunque en primera instancia es resultado de la vaguedad del lenguaje, en el fondo luego se traslada en virtualmente los mismos términos a la noción de no computabilidad de Chaitin. Es un tema muy interesante, “comida para la mente” que dicen los anglosajones 😉 .

  8. Carlos said

    Gracias, Odo. Sí, tal como indicas hay una estrecha relación entre la función de Ackermann y la notación de Knuth (cosa que es un poco sorprendente en primera instancia, ya que la definición de la función parece bastante inocente, y si uno la desarrolla para valores pequeños se obtienen resultados igualmente pequeños). Concretamente, la función de Ackermann puede expresarse en notación sagital encadenada como:

    A(m,n) = 2->(n+3)->(m-2)

    o lo que es lo mismo en la notación de Knuth:

    A(m+2,n-3) = 2^^…(m flechas)…^n

    El castor afanoso es ya un animal al que hay que darle de comer aparte 😉 .

  9. Números grandes, pero que muy grandes

    [c&p] "Hablemos de números grandes, y no me refiero por supuesto a millones, billones, o trillones. entonces, ¿decillones, undecillones, duodecillones, …? Esos están mejor, y el patrón con el que se construyen sus nombres está claro, co…

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