La Singularidad Desnuda

Un universo impredecible de pensamientos y cavilaciones sobre ciencia, tecnología y otros conundros

Archive for 9 febrero 2007

La epopeya de Mitilene: Cuando los hombres eran dioses

Posted by Carlos en febrero 9, 2007

Corría el año 427 A.C. cuando tuvo lugar una de esas historias llenas de épica, dignas de figurar en una epopeya. La ciudad-estado de Atenas, al frente de la Liga de Delos, llevaba cuatro años en guerra contra la Liga del Peloponeso liderada por Esparta. Mitilene, ciudad situada en la isla de Lesbos y encuadrada en la Liga de Delos, se rebeló contra Atenas, alineándose con Esparta. La flota ateniense se dirigió a la ciudad rebelde, y aunque ésta había solicitado la ayuda de Esparta, dicha ayuda no llegó a tiempo y la revuelta fue aplacada. Surgió entonces un debate en la Ekklesia (la asamblea ateniense) sobre qué medida de castigo tomar contra los rebeldes. En dicho debate, Cleón -carismático estratego y gran orador- defendió ante la asamblea la adopción de medidas ejemplarizantes, consistentes en el exterminio de todos los hombres de Mitilene y el sometimiento como esclavos de mujeres y niños. Esta medida fue adoptada por la asamblea, y se envió a un trirreme (un barco de guerra) para ejecutarla. Sin embargo, una represalia de este calibre contó con la oposición de una parte de la asamblea por considerarla excesiva. Estos miembros -encabezados por Diodoto- lograron que al día siguiente la medida se revocara en parte en una nueva reunión, y que sólo fueran castigados los líderes de la revuelta. No obstante, el trirreme encargado de ejecutar la orden ya estaba en camino, por lo que fue necesario enviar un nuevo trirreme para alcanzar al primero, y evitar así el exterminio total de los habitantes. La misión era extremadamente difícil, dada la ventaja de un día que el primer barco tenía; por ello, se organizaron turnos de remeros para que, remando sin pausa alguna durante toda la travesía, dieran alcance al primer trirreme, cosa que finamente sucedió.

Liga ateniense y Guerra del Peloponeso

Merece la pena analizar cuantitativamente lo que esta persecución marítima supuso. Un trirreme ateniense era un barco de 35m de eslora y 5m de manga, propulsado por 170 remeros. De acuerdo con los modelos que se han hecho de estos barcos, se estima que eran capaces de alcanzar una velocidad sostenida de 7 nudos, con picos de 11.5 nudos. Dado que la isla de Lesbos está situada a unos 340 km (183.6 millas náuticas) de Atenas, esto supone que son necesarias poco más de 26 horas de propulsión para hacer el recorrido. Por supuesto, hay que tener en cuenta el descanso de los remeros. Si por ejemplo se asume que la jornada efectiva de remo era de unas 14 horas, el tiempo total del viaje podía rondar 1 día y 21 horas. Dado que el primer trirreme tenía un día de ventaja, el segundo tenía como máximo esas 21 horas para hacer todo el recorrido sin parar de remar. Esto significa que la velocidad media que tuvo que mantener esta segunda embarcación es de unos 8.75 nudos. Esta velocidad puede verse reducida a 7.65 nudos si asumimos que el primer trirreme tardo dos días completos en hacer el recorrido.

Trirreme griego

Lo realmente interesante de la historia es apreciar la proeza que para los remeros del segundo trirreme supuso esta persecución. En el último número de New Scientist ha salido un artículo titulado

en el que se aborda esta cuestión. Usando los modelos actuales de cómo eran los trirremes, y estudiando desde un punto de vista fisiológico el esfuerzo desarrollado por los remeros de estas embarcaciones se llega a una conclusión sorprendente: esta prueba supone un desafío incluso para los deportistas de alta competición actuales. Las explicaciones pueden ser varias. Asumiendo en principio que los hechos -bien reflejados en las crónicas de la época- transcurrieron tal como se conocen, podría pensarse (1) que las condiciones de navegación en aquellos días concretos perjudicaran a la primera embarcación, y favorecieran a la segunda, (2) que los modelos que tenemos de los trirremes no sean ajustados a la realidad, y (3) que los hombres de la época estaban en excepcional forma física. En relación a esto último hay que tener en cuenta además que los remeros de los trirremes no eran esclavos, sino hombre libres (aunque por lo general muy pobres). Además de la paga, y de la propia supervivencia, estos remeros tenían por lo tanto una tercera motivación: la defensa de su ciudad y de sus habitantes. El plus de motivación que esta última consideración proporcionaba no es nada desdeñable.

Dejando de lado de momento el punto (1) sobre la base de que sería extraño (aunque no descartable) que se hubiese fletado un segundo trirreme sin posibilidades de éxito más allá de un cambio en las condiciones de navegación, habrá que concluir que o bien las embarcaciones de hace 25 siglos aún guardan secretos importantes para nosotros, o bien que sencillamente aquella gente estaba hecha de otra pasta. En un momento como el actual en el que el deporte de alta competición está -en según qué disciplinas- tan relacionado con la química ultramoderna, esta última imagen da al menos que pensar.

Enviar a Blog Memes Enviar a del.icio.us Enviar a digg Enviar a fresqui Enviar a menéame

Posted in Historia | 6 Comments »

Un científico con mucho carácter

Posted by Carlos en febrero 8, 2007

Dmitriy Ivanovich MendeleevHoy en día podríamos vivir sin un Platón, pero nos harían falta el doble de Newtons para descubrir los secretos de la naturaleza, y poner nuestras vidas en armonía con sus leyes.
Dmitri Ivanovich Mendeleev (1834-1907),
químico ruso

Tal día como hoy hace 173 años, nacía en la ciudad rusa de Tobolsk, en plena Siberia, un personaje que con el tiempo pasaría a la historia como gran científico y como gran carácter: Dmitri Mendeleev. Fue precisamente esta segunda faceta suya, forjada por las vicisitudes de la vida, la que le permitió salir adelante y desarrollar su brillante carrera científica. Y es que decir que las cosas no fueron nada fáciles para él se queda pero que muy corto. En plena Rusia decimonónica, fue el más pequeño de 14 hermanos (el número varía entre 11 y 17 según algunas fuentes), y quedó huérfano de padre muy pequeño. Su madre tomó la tarea de mantener a la familia, gestionando una pequeña fábrica familiar de vidrios. Sin embargo, a la edad de 14 años, un incendio destruyó la fábrica, lo que supuso el fin de los ahorros que su familia había guardado para que fuera a la universidad. A pesar de ello, el joven Dmitri ganó una beca a la edad de 16 años en la Universidad de San Petersburgo. La alegría fue efímera, ya que a los pocos meses de esto murieron su madre y su hermana mayor. Volcado completamente en sus estudios como única tabla de salvación, a los tres años cayó enfermo, y le fue diagnosticada una tuberculosis que en el mejor de los casos le concedería dos años de vida. Mendeleev emigró a Crimea, y gracias a las bondades del clima junto al Mar Negro, y sobre todo a su fortaleza personal logró recuperarse completamente. Esta trayectoria vital marcó su personalidad, y cuando con 22 años volvió a San Petersburgo ya era el hombre que sería recordado hasta la actualidad.

Mendeleev era un hombre volcado en la ciencia, y preocupado de que los avances de esta repercutieran en la sociedad. En relación a lo primero se cuenta la anécdota de su primera esposa a la que ante su pregunta de si estaba casado con ella o con la ciencia respondió: “con ambas, salvo que eso sea bigamia, en cuyo caso estoy sólo casado con la ciencia“. En relación a lo segundo, era conocida su costumbre de viajar en la tercera clase de aquellos trenes rusos de larga distancia, para buscar la compañía de los campesinos, y charlar con ellos de los nuevos avances en agricultura. Su testarudez le llevó también a casarse por segunda vez sin apenas haber terminado los trámites de divorcio de su primera mujer, lo que suponía bigamia de acuerdo con las costumbres de la época de la Iglesia Ortodoxa Rusa. Esto le impidió entrar en la Academia Rusa de Ciencias, pero su valía personal era tan ampliamente reconocida que cuando las acusaciones de bigamia llegaron al Zar Alejandro III, éste exclamó: “Mendeleev tendrá dos mujeres, de acuerdo, pero yo sólo tengo un Mendeleev“.

Con todo lo anterior, lo que hizo a Mendeleev más conocido a nivel general fueron sus contribuciones en química, y más concretamente en la clasificación de los elementos químicos.

Tabla Periódica de los Elementos

La imagen superior muestra la tabla periódica de los elementos tal como la conocemos hoy en día. Sin embargo, en tiempos de Mendeleev, no sólo eran desconocidos una gran cantidad de los elementos ahí representados, sino que se desconocía su propia organización periódica. Dicha organización empezaba a ser evidente en aquella época, ya que si se ordenaban los elementos por masa atómica se observaba cierta periodicidad en las propiedades de los mismos. Fueron varios los científicos que intentaron producir una clasificación a partir de este hecho (por ejemplo, John Newlands y Lothar Meyer), pero es a Mendeleev al que se le da el crédito por varios motivos. En primer lugar, tenía más y mejores datos, lo que le permitió alcanzar una mejor perspectiva de la situación. En segundo lugar, tuvo la fé suficiente en su clasificación como para predecir que había ciertos huecos en la tabla que debían llenarse con elementos de cierta masa atómica y ciertas propiedades, como así se demostró con el descubrimiento del germanio, galio, y escandio.

Mendeleev murió a la edad de 73 años, mientras escuchaba la lectura de una obra de Julio Verne. Para recordarlo en este aniversario de su nacimiento con un toque alegre, nada mejor que oír la muy pegadiza “canción de los elementos” que compuso Tom Lehrer combinando los nombres de los elementos químicos. Una persona como Mendeleev, capaz de subirse en solitario a un globo sin tener experiencia para observar un eclipse, y sólo después de tomar sus notas empezar a preocuparse de cómo hacer que el globo baje, seguro que hubiera disfrutado con esta canción.

Enviar a Blog Memes Enviar a del.icio.us Enviar a digg Enviar a fresqui Enviar a menéame

Posted in Ciencia, Citas, Música, Personajes, Química | Etiquetado: , , | 6 Comments »

Transiciones de fase: una lección vital

Posted by Carlos en febrero 7, 2007

El término científico transición de fase es muy interesante. Una transición de fase en un sistema indica un cambio brusco en sus propiedades al sobrepasar cierto valor crítico en alguna variable de control del mismo. Los ejemplos más habituales nos los encontramos en física. Consideremos por ejemplo el agua. A temperatura ambiente es líquida, pero si reducimos la temperatura por debajo de 0ºC se congela y pasa a ser sólida. Este cambio es brusco, esto es, el agua no empieza a espesarse, convirtiéndose en una especie de melaza cada vez más consistente a medida que baja la temperatura, sino que cristaliza rápidamente, en lo que se tarda en alcanzar el equilibrio térmico entre diferentes partes del líquido. Otro tanto podemos conseguir jugando por ejemplo con la presión del líquido en lugar de con la temperatura. Matemáticamente, podríamos decir que se produce una discontinuidad en las propiedades del sistema al pasar de una fase a otra, típicamente por haber alguna singularidad en alguna de dichas propiedades o en sus derivadas.

El fenómeno de las transiciones de fase no es particular de la física ni mucho menos. Son muy frecuentes por ejemplo en el área de la matemática discreta, y en particular en teoría de grafos o en optimización combinatoria. Podemos considerar un ejemplo bien simple: el problema de la sastisfacibilidad lógica (SAT). Imaginemos que tenemos una fórmula lógica, e.g., (x1 or ~x2 or ~x3) and (x1 or x2 or x4). Esta fórmula lógica está expresada en forma normal conjuntiva, es decir, tenemos un conjunto de cláusulas unidas por la conectiva and, cada una de las cuales es un conjunto de literales (variables lógicas o su negación, que pueden tomar un valor verdadero o falso) unidos por la conectiva or. El problema consiste en determinar si existe una asignación de valores (verdadero o falso) a las variables lógicas de manera que la fórmula sea cierta (i.e., que todas las cláusulas sean ciertas). En el ejemplo anterior, cualquier asignación que incluya x1 = verdadero valdría (no sería ésta la única solución en este ejemplo).

Puede parecer que no es difícil determinar si una fórmula lógica es satisfacible o no, y la verdad es que en la práctica esto es cierto. Por supuesto, si el número de variables crece mucho, el problema se hace pesado, pero no inherentemente difícil. De hecho, hay algoritmos que son capaces de resolver rápidamente el problema para miles de variables. A pesar de esto, el problema SAT es el ejemplo paradigmático de la clase de problemas NP: dada una fórmula arbitraria, en el peor caso no existe ningún algoritmo conocido que demuestre su satisfacibilidad o insatisfacibilidad en tiempo polinomial en el tamaño del problema (esto es, si el tamaño es n, en tiempo acotado por nc, donde c es una constante). ¿Cómo es eso posible en este problema? Pues porque hay una transición de fase de por medio.

Analicemos el problema para un número de variables fijo, en función del número de cláusulas que tiene. Si este número es muy pequeño, el problema será muy probablemente satisfacible, ya que tenemos muchos grados de libertad (variables cuyos valores podemos fijar), y pocas restricciones (cláusulas). Por el contrario, si el número de cláusulas es muy alto, la sitación es la inversa, y el problema es muy probablemente no satisfacible. ¿Que ocurre con valores intermedios? Ahí está lo interesante. Una instancia cualquiera del problema sigue siendo con probabilidad cercana a 1.0 satisfacible aunque aumentemos el número de cláusulas, hasta que llegamos a una relación entre el número de cláusulas y el número de variables de entre 4 y 5 cláusulas por variable. Ahí se pasa rápidamente a instancias que son insatisfacibles con probabilidad cercana a 1.0. El punto crítico está en aproximadamente de 4.24 cláusulas por variable (suponiendo siempre que cada cláusula tiene 3 literales). Una instancia situada ahí es prácticamente satisfacible/insatisfacible con el 50% de probabilidad.

SAT probability of satisfiability

La imagen superior está tomada de un trabajo clásico de D. Mitchell, B. Selman, y H. Levesque, publicado en la décima conferencia de la American Association for Artificial Intelligence, y titulado:

La resolución del problema es muy fácil en general, ya que un algoritmo especializado se da cuenta enseguida de si hay solución o no, salvo cuando estamos en la zona en la que se produce la transición de fase. En ella, la eficiencia de los algoritmos de resolución es enormemente limitada, y se ven obligados a explorar una cantidad significativa (no polinomial) de las posibles soluciones al problema. Se habla en este caso de una transición de fase fácil-difícil-fácil, ya que a medida que nos desplazamos por el eje X visitamos fugazmente una zona de dificultad entre dos amplias regiones de fácil resolución.

La belleza de este tipo de fenómenos está en lo que aprendemos de ellos, y luego podemos aplicar a nosotros mismos. En numerosas ocasiones nuestra vida experimentará transiciones de fase y zonas de extrema complejidad, pero uno debe pensar que tras el pico de dificultad, nos adentraremos de nuevo en la región fácilmente resoluble. Al menos, eso pienso yo.

Enviar a Blog Memes Enviar a del.icio.us Enviar a digg Enviar a fresqui Enviar a menéame

Posted in Física, Matemáticas, Optimización Combinatoria, Singularidad | Etiquetado: , , , | 11 Comments »

Algoritmos exquisitos y programación deliciosa en el lenguaje CHEF

Posted by Carlos en febrero 6, 2007

Cuando se comienza a estudiar programación, suele ser muy socorrido recurrir a una analogía con una receta de cocina para dar una primera idea informal de lo que se entiende por algoritmo. Acto seguido, se dan definiciones más precisas, y uno se puede adentrar en las maravillas de las máquinas de Turing, y quién sabe si incluso del lambda-cálculo. Sin embargo, no sólo es una pena abandonar una analogía tan gratificante como la de la receta de cocina, sino que es algo de hecho innecesario. Mediante el lenguaje de programación CHEF, podemos dar nuestros primeros pasos en el delicioso mundo de la programación, a la vez que profundizamos en el arte milenario de la cocina.

CHEF es un lenguaje cuyos programas tienen la estructura de una receta de cocina. Los elementos básicos del lenguaje son los ingredientes, que tienen el rol de variables, y los recipientes (platos y cuencos), que actúan como estructuras de datos de tipo pila (aunque con algunas operaciones adicionales a las habituales en las mismas). Todo programa comienza con el nombre de la receta, y va seguido de la lista de ingredientes (declaración de variables, con posibilidad de indicar un valor inicial), y del método del preparación (cuerpo principal del algoritmo). Dentro de este último, disponemos de diferentes acciones para insertar/extraer ingredientes de los cuencos, o para alterar sus valores. Por ejemplo (traduzco las instrucciones del inglés):

  • Tomar <ingrediente> del refrigerador: lee un valor desde teclado, y lo almacena en ingrediente.
  • Poner <ingrediente> en el [n-ésimo] cuenco: introduce el valor del ingrediente en el tope de la pila indicada.
  • Añadir|Quitar <ingrediente> en el [n-ésimo] cuenco: suma|resta el valor del ingrediente al valor que haya en el tope de la pila indicada.
  • Combinar|Dividir <ingrediente> en el [n-ésimo] cuenco: multiplica|divide el valor del ingrediente al valor que haya en el tope de la pila indicada.
  • Vertir contenidos del [n-ésimo] cuenco en el [m-ésimo] plato: copia los elementos de una pila en otra.
  • Servir para k comensales: muestra en pantalla k valores, sacados en orden del primer plato, luego del segundo si hace falta, etc.

Además de estas operaciones básicas, existe una construcción iterativa general, que permite simular bucles de tipo whileendwhile. Concretamente, cuando nos encontramos una acción del tipo <verbo> <ingrediente> (donde el verbo puede ser cualquiera que no sea una de las palabras reservadas) comenzamos un bucle while condicionado a que el valor de ingrediente sea mayor que cero. El fin del bucle se marca con una acción del tipo <verbo> [<ingrediente>] hasta que esté <adjetivo>. Nuevamente, el verbo y el adjetivo (típicamente un participio) indicados son arbitrarios, y en caso de indicarse un ingrediente su valor se decrementa en uno antes de volver al comienzo del bucle.

Con estos elementos tenemos suficiente para confeccionar exquisitos programas, como el Suflé Hola Mundo (bueno como entrante), o el Fibonacci Al Dente (un segundo plato adecuado). Yo he optado por completar el menú con un postre casero que casa muy bien con lo anterior: Factorial con Fresas y Nata. He aquí la receta:

Factorial con Fresas y Nata.

Esta receta calcula el factorial del número que se le indique. Un postre perfecto que combina muy bien con Fibonacci al Dente, o con solomillo Ackermann.

Ingredientes.
1 kg fresas de Lepe
nata montada

Método.
Tomar nata montada del refrigerador.
Poner fresas de Lepe en el cuenco.
Agitar la nata montada.
Combinar nata montada en el cuenco.
Esparcir la nata montada hasta que esté homogénea.
Vertir contenido del cuenco en el plato.

Servir para un comensal.

Como puede apreciarse, el valor cuyo factorial queremos calcular se almacena en la nata montada. El bucle principal está entre “agitar la nata montada” (mientras su valor sea mayor que cero) y “esparcir la nata montada hasta …” (decrementar su valor y volver al comienzo del bucle). Este lenguaje nos abre infinitud de novedosos paradigmas de programación, como por ejemplo la programación mediterránea, una combinación estructurada de funciones de la huerta y variables de mar, regado con bucles de oliva y procedimientos tintos. La programación sigue siendo un delicioso arte. ¡Buen apetito!

Enviar a Blog Memes Enviar a del.icio.us Enviar a digg Enviar a fresqui Enviar a menéame

Posted in Geek, Programación | 8 Comments »

Avalanchas, acantilados de Hamming, y potencias de diez

Posted by Carlos en febrero 5, 2007

Una de las pequeñas maravillas de los sistemas de numeración posicionales son los llamados acantilados de Hamming. Si estamos empleando numeración en base B, y D es el dígito de mayor valor (e.g., D=9 si B=10), el número Bn-1 se representa como DD(n veces)D, y el número Bn como 100…(n veces)…0. La distancia de Hamming entre estos dos valores consecutivos es por lo tanto n+1. Podemos verlo como una pequeña avalancha al sumar 1: se produce acarreo una y otra vez, modificando todos los dígitos hasta que llegamos al primer cero de derecha a izquierda. De hecho, hay algo fantástico en estas avalanchas: su frecuencia sigue una ley de potencias en función de su amplitud. Así, una avalancha de n acarreos se produce cada Bn números.

Hoy se produce una de estas avalanchas en La Singularidad Desnuda. Éste es el apunte número 100, y marca la entrada en los tres dígitos. Realmente el número le parecerá un tanto irrisorio a cualquier blogger con más experiencia, y ciertamente no le faltará razón para ello. Sin embargo, aunque se trate de una pequeña efeméride, la avalancha del siguiente orden de magnitud no se producirá hasta 900 artículos en el futuro, lo cual al ritmo actual puede significar unos 2.5 años más. Por ello, aprovecharé este momento para dar gracias mil a todos los lectores, y celebrar aunque sea modestamente el acontecimiento, insertando el primer vídeo de este blog. Se trata de algo adecuado para la ocasión: el clásico corto científico “Potencias de Diez“. Que Vds. lo disfruten.

Enviar a Blog Memes Enviar a del.icio.us Enviar a digg Enviar a fresqui Enviar a menéame

Posted in Informática, Matemáticas, Meta-Blogging | 9 Comments »

La mente más maravillosa del siglo XX

Posted by Carlos en febrero 3, 2007

Gödel and Einstein in Princeton
Si voy a mi oficina es únicamente para tener el privilegio de volver luego a casa paseando con Gödel
Albert Einstein (1879-1955), físico germano-estadounidense

 

¿Quién era esta persona a la que Einstein tenía en tanta estima? Pues únicamente el lógico más brillante desde Aristóteles, muy posiblemente la mente más preclara del siglo XX, y sin ningún género de dudas una de las personas que cambió nuestra concepción de la realidad. Mucho más joven que Einstein, Kurt Gödel era de los pocos a los que el gran maestro de Ulm consideraba entre sus iguales, y ciertamente se encontraba entre los muy pocos con el empaque intelectual para permitirse darle la réplica en sus legendarias conversaciones sobre física y matemáticas. Gödel compartía con Einstein su genialidad y su oposición a las líneas de pensamiento dominantes en la época. Al igual que la Teoría de la Relatividad demolió la idea de un espacio y un tiempo independientes, absolutos, e inmutables, sus Teoremas de Incompletitud cambiaron el rumbo de la filosofía y las matemáticas, demostrando la inherente inaprehensibilidad del concepto de verdad matemática absoluta y completa. Y al igual que Einstein se alejó de la mayoría de comunidad física al oponerse a la teoría cuántica como modelo final del Cosmos, Gödel hizo lo propio al aferrarse a sus ideas platónicas sobre las matemáticas.

La vida de Gödel nunca fue simple, empezando por la relación afectiva con la que se convertiría en su mujer (que contó con la oposición de la familia de Gödel), continuando por la anexión de Austria por la Alemania Nazi (que motivaría finalmente su huida cuando estalló la Segunda Guerra Mundial), y terminando con el deterioro de su salud mental en sus últimos años en los EE.UU. De esta última época se cuentan historias acerca de sus temores paranoicos (que finalmente acabarían por causarle la muerte por inanición), pero prefiero quedarme con la genial anécdota de su nacionalización estadounidense.

Siendo alguien que se tomaba las cosas realmente en serio, aunque se pudiera tratar de meras formalidades, decidió estudiar en detalle la Constitución de los EE.UU. para su examen de nacionalización. El día antes del mismo llamó a Oskar Morgenstern -brillante matemático de origen alemán, padre de la Teoría de Juegos- muy nervioso; había descubierto una inconsistencia lógica en la Constitución por la que se podía instaurar una dictadura en los EE.UU. Morgenstern intentó calmarle, temeroso de las consecuencias que un comentario sobre eso podría tener sobre sus posibilidades de nacionalizarse. Al día siguiente el propio Morgenstern y Einstein acompañaron a Gödel, intentando distraerle para que olvidara el asunto. El juez Philip Forman, impresionado por el dúo de genios que hacían de padrinos les permitió quedarse durante el examen. En el desarrollo del mismo le pregunto a Gödel “Vd. tenía la nacionalidad alemana hasta ahora, ¿no?” -“Austriaca” le corrigió Gödel; “Es igual” -prosiguió el juez- “aquello fue durante una horrible dictadura, pero afortunadamente eso no puede pasar aquí“; “¡De ninguna manera, yo puedo demostrarle que sí!” afirmó Gödel, que comenzó a explicarle el mecanismo que había descubierto. Afortunadamente, el juez Forman le interrumpió, y Einstein y Morgenstern consiguieron calmar a Gödel, que poco más tarde juraría su nueva nacionalidad. Es aún un misterio qué fue lo que Gödel había descubierto. Algunos expertos apuntan que podría tratarse del Artículo V que describe cómo se cambia la Constitución, pero no pone límites en dichos cambios, aunque es difícil creer que fuera algo tan relativamente simple lo que hubiera llamado la atención de Gödel.

La fascinación de Gödel por el pensamiento puro le llevó a analizar lo que el consideraba la cuestión filosófica por excelencia: el tiempo. Su conclusión fue, como casi todo en él, extrema pero sólida en sus términos. Para Gödel el tiempo -tal como intuitivamente se entendía, con su noción de pasado y futuro- no existía. Esta idea general la plasmó en una solución a las ecuaciones de campo de Einstein que no daba lugar a un universo estático (como Einstein erróneamente postulaba inicialmente), ni a un universo en expansión (como Lemaître descubrió, de manera consistente con la observación), sino a un universo en rotación en el que era posible viajar al pasado, lo que elimina la propia noción de pasado y futuro. Y si había un universo en el que esto era así (aunque no fuera el nuestro), el papel del tiempo se derruía, ya que dejaba de ser necesario en términos absolutos, y para Gödel lo que no era necesario, no era.

Kurt Gödel murió en 1978. Fue uno de esos genios irrepetibles cuya inteligencia desbordante alumbra el Universo, y que no aparecen todos los siglos. Gödel dejó de estar entre nosotros, pero como Palle Yourgrau sentenció, “en un sentido profundo, todos vivimos en el Universo de Gödel”.

Enviar a Blog Memes Enviar a del.icio.us Enviar a digg Enviar a fresqui Enviar a menéame

Posted in Citas, Física, Filosofía, Matemáticas, Personajes | Etiquetado: , | 45 Comments »

El Demonio de Maxwell: nanogrúas impulsadas por láser

Posted by Carlos en febrero 2, 2007

Las Leyes de la Termodinámica constituyen probablemente el conjunto más universal de principios a los que podemos asirnos para entender el mundo. A grandes rasgos, estas leyes nos dicen que (1) la energía de un sistema aislado es constante, (2) la entropía de un sistema aislado sólo puede aumentar, y (3) la entropía de un sistema alcanza una constante cuando su temperatura llega al cero absoluto. Estas tres leyes (hay una cuarta, definida en realidad como Ley Cero, que define la transitividad en el equilibrio térmico) fueron magistralmente reformuladas por el poeta Allen Ginsberg como (1) no puedes ganar, (2) tampoco puedes empatar, y (3) no puedes salirte del juego.

James Clerk MaxwellA pesar de estar tan fuertemente consolidadas en nuestra compresión empírica del Cosmos, la violación de estos principios ha sido siempre el oscuro objeto del deseo de innumerables científicos e/o inventores. El anhelo de conseguir máquinas de movimiento perpetuo es precisamente uno de los caballos de batalla de los que las Leyes de la Termodinámica vienen dando cumplida cuenta desde el principio de los tiempos. No siempre son chiflados los que se plantean la violación de estas leyes sin embargo. Aunque sólo sea como experimento mental, es usual abordar escenarios en los que estos principios se violan. Uno de los mejores y más clásicos ejemplos lo proporcionó el físico escocés James Clerk Maxwell, en lo que se vino a llamar el Demonio de Maxwell. En su experimento mental, Maxwell imagino un recipiente en cuyo interior había algún tipo de gas. Las moléculas del gas se moverían a diferentes velocidades individuales, pero tendrían en conjunto una velocidad promedio que daría lugar a la correspondiente temperatura. Si trazáramos una pared divisoria por la mitad del recipiente, incluyendo un orificio en la misma, las moléculas fluirían entre ambas mitades, haciendo que se alcanzara rápidamente el equilibrio térmico. Imaginemos ahora un cierto individuo cuyas facultades le permiten discernir las velocidades de cada molécula, y que es capaz de abrir o cerrar la ventana de comunicación entre las dos mitades del recipiente a voluntad. Podría abrirlo sólo cuando una molécula de alta velocidad fuera de, por ejemplo, la mitad izquierda a la mitad derecha, o una de baja velocidad fuera en sentido contrario. Al actuar así, rápidamente las moléculas de alta velocidad se acumularían en la mitad derecha, causando una rotura del equilibrio térmico, sin aparente uso de energía externa. Se estaría entonces violando la Segunda Ley de la Termodinámica, ya que la entropía del sistema habría descendido.

Como en todas las paradojas, hay que buscar la explicación en las suposiciones implícitas, en este caso que la apertura y cierre de la compuerta no consume energía externa, y que el propio proceso de observación y determinación de qué molécula debe dejarse pasar o no es también gratuito en términos energéticos. Parece claro que no es así, y que por lo tanto no se llega a violar nuestra apreciada Segunda Ley. En cualquier caso, este experimento mental ha servido de inspiración a muchos, y concretamente a un grupo de investigadores de la Universidad de Edimburgo, liderados por el Profesor David Leigh, que acaban de publicar en Nature un trabajo titulado:

En este trabajo describen como un nanodispositivo de su invención puede emplear una fuente de energía externa (luz coherente en este caso) para controlar el movimiento de un anillo molecular dentro de un rotaxano. Básicamente lo que se consigue es definir una especie de anzuelo selectivo, que atrapa a las moléculas que se mueven en una cierta dirección.

Rotaxane (Maxwell’s demon)
Credit: Serreli et al. – (c) Nature Publishing Group

Las aplicaciones son inmensas desde el punto de vista nanotecnológico. Por ejemplo, en un futuro próximo mediante un puntero láser podremos ordenar a un enjambre de nanomáquinas que empujen un objeto en la dirección que deseemos. Se acabó tener que esperar un rato a que venga la grúa cuando se nos estropee el coche.

Enviar a Blog Memes Enviar a del.icio.us Enviar a digg Enviar a fresqui Enviar a menéame

Posted in Física, Nanotecnología | 6 Comments »

El Sol, nuestro gigatelescopio

Posted by Carlos en febrero 1, 2007

Una de las predicciones más sorprendentes de la Teoría de la Relatividad General es que la presencia de cuerpos masivos curva el espacio-tiempo, haciendo que incluso los rayos de luz vean alteradas sus trayectorias al pasar junto a ellos. Este efecto fue observado en la práctica por primera vez en 1919 por Arthur Eddington, en una expedición científica que observó las posiciones de las estrellas cercanas al Sol durante un eclipse, y constató que aparecían desviadas con relación a la posición que ocuparían durante la noche, sin el Sol en su camino. Esta desviación es tanto mayor cuanto más cercanos pasen los rayos de luz al cuerpo masivo (el Sol en este caso), y lógicamente cuanto mayor sea la masa de este último. El efecto es entonces especialmente intenso en el caso de agujeros negros o estrellas de neutrones, tal como se ve en la animación inferior. En la misma se aprecia como al pasar un agujero negro por delante de una galaxia de fondo, la luz de la misma se amplifica, formando un anillo en torno al agujero negro. Se habla por este motivo de lente gravitatoria.

gravitational lens

Este efecto de lente gravitatoria puede ser empleado a modo de telescopio natural, aunque no tengamos un agujero negro a mano. Podemos emplear para ello al Sol, que es el cuerpo más masivo en nuestra cercanía. El primero en darse cuenta de esta posibilidad fue von Eshelman, de la Universidad de Stanford, con un trabajo titulado:

publicado en Science. Fue sin embargo, Claudio Maccone, de la International Academy of Astronautics, quien ha abanderado la idea, e incluso ha llegado a realizar propuestas concretas para su puesta en práctica. Podemos hacer algunas operaciones simples para obtener una idea general de lo que se puede conseguir. El siguiente esquema ilustra la situación básica:

Lente gravitatoria solar

El ángulo de curvatura de los rayos solares viene dado por la expresión a(r) = 4M/r, donde M es la masa del Sol en unidades geométricas. Aplicando un poco de trigonometría, a(r)=tan-1(r/dfocal), y dado que dicho ángulo será pequeño debido a la poca masa del Sol, se puede aproximar a a(r) = r/dfocal. El punto focal para los rayos tangentes a la superficie del Sol (r=rsol) estárá entonces a distancia dfocal = r2sol/4M. Sustituyendo valores numéricos obtenemos unas 550 UA. Hay que notar sin embargo que a diferencia de una lente óptica, el foco no está exclusivamente en este punto, sino que se extiende desde ahí hasta el infinito, ya que rayos de luz que pasen a mayor distancia del Sol, se curvarán menos. Entonces, ¿por qué no emplear cualquier estrella lejana como lente gravitatoria? Se puede, pero hay limitaciones prácticas que ahora veremos.

Para empezar hay que considerar que si nos situamos a 550 UA del Sol, el efecto de lente gravitatoria nos va a permitir ver objetos muy lejanos con la misma amplitud angular que tendrían de estar situados junto al Sol (suponiendo que dicha amplitud angular sea lo suficientemente pequeña para que las aproximaciones funcionen). Por ejemplo, el Sol ocuparía a esa distancia 3.5 segundos de arco, y Neptuno 0.12 segundos de arco. Dado que la resolución de la Wide Field and Planetary Camera del Hubble es de 0.043 segundos de arco, sería más que suficiente para distinguir a un planeta del tamaño de este último, aunque orbitara alrededor de una estrella lejana. Hay sin embargo dos problemas inmediatos: (1) la corona solar interferiría la trayectoria de los rayos de luz, y (2) el brillo del Sol ahogaría la luz de otros objetos. No obstante, esto se puede solucionar ya que el ángulo que ocupa el Sol es inversamente proporcional a la distancia a la que nos situamos, mientras que la distancia a la que pasan de él los rayos que convergen en un punto dado es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de dfocal. Por lo tanto, si nos alejamos lo suficiente, eliminaremos los problemas anteriores, a costa del tamaño de los objetos que somos capaces de discernir.

Con todo y con eso, hay varios problemas prácticos. El primero y más evidente es llevar un gran telescopio a esa distancia. El segundo es que sólo serviría para enfocar en una dirección precisa. Para cambiar la dirección de observación en 1º, sería necesario desplazar el telescopio 9.6 UA (suponiendo la distancia focal mínima). Aunque esto es impracticable a corto y medio plazo, nada nos impide soñar con ello, y marcar con una cruz la zona del firmamento a la que dirigiríamos el gigatelescopio si pudiéramos. Por ejemplo, Sagitario A*.

Enviar a Blog Memes Enviar a del.icio.us Enviar a digg Enviar a fresqui Enviar a menéame

Posted in Astronomía, Física, Matemáticas | Etiquetado: , | 3 Comments »