La Singularidad Desnuda

Un universo impredecible de pensamientos y cavilaciones sobre ciencia, tecnología y otros conundros

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Subasta de un dólar: no jugar no es la única forma de ganar, pero casi

Posted by Carlos en octubre 14, 2009

Dollar auction

El tiranosaurio está proponiendo un juego teórico clásico: la subasta de un dólar. El comportamiento descrito en la viñeta en el que se produce una guerra de pujas sin control se ha observado en simulaciones reales del juego, lo que indica cómo el factor psicológico domina en ocasiones al análisis racional.

Si ambos jugadores son racionales y su único objetivo es maximizar el beneficio propio, el juego termina en la primera puja, cuando el jugador #1 ofrece $0,99. El segundo jugador no pujará ya que cómo mínimo debería ofertar $1,00 y en el mejor caso se quedaría como está, y lo más probable es que se desatase una guerra de pujas en ese momento. También pueden intentar acordar una estrategia común, de manera que el jugador #1 puje con $0,01, el segundo no puje, y luego se repartan el dólar. El problema es determinar cómo, ya que el jugador #2 puede exigir $0,98 bajo amenaza de “o eso o nos arruinamos los dos”. Sería racional aceptar el trato, ya que los dos salen ganando, pero ¿es racional tomar una decisión basándose en una amenaza irracional? En cualquier caso lo más probable es que en la práctica el jugador #2 se conformara con $0,49 o incluso menos. Somos animales cooperativos en el fondo.

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Nadal y Del Potro juegan al tenis con taquiones

Posted by Carlos en octubre 28, 2008

Al hilo del último apunte en el que veíamos cómo la noción de simultaneidad es relativa y depende del observador, vamos a centrarnos ahora en la relación entre la velocidad de la luz y los viajes en el tiempo. Concretamente vamos a ver por qué superar la velocidad de la luz supone un viaje hacia atrás en el tiempo. En primer lugar, hay que insistir en que al referirnos a la velocidad de la luz estamos indicando la constante física c, que indica la velocidad -medida localmente por cualquier observador- a la que partículas sin masa se desplazan por el vacío. Esto es, ni se trata de ser más rápido que la luz en un medio material cualquiera, ni los fotones tienen algo especial a los efectos que nos ocupan que no tengan otras partículas sin masa.

Dicho esto, lo primero que hay que preguntarse cuando se habla de superar la velocidad de la luz es en qué sistema de referencia se mide dicha velocidad. No hay sistemas de referencia absolutos, por lo que la medición de velocidad no tiene sentido si no se da esa información adicional. A partir de ahí, podemos analizar qué efecto tendría ese desplazamiento a velocidad superlumínica en otros sistemas de referencia en movimiento relativo con el primero. Vamos a verlo con un experimento mental: estamos en la final de la Copa Davis entre Argentina y España, y el equipo local lo ha preparado todo para un juego rápido: pista de moqueta sintética y pelotas de taquiones. Estas pelotas tienen la propiedad de poder superar la velocidad de la luz en el sistema de referencia de la raqueta que las golpea. En el primer partido tenemos a Del Potro al servicio, y a Nadal al resto. En previsión del saque que se avecina, Nadal retrocede a velocidad v. Del Potro se dispone a sacar, bota la pelota, y … punto para Rafa Nadal. Veámoslo en un diagrama:

Nadal y Del Potro juegan al tenis con taquiones

Nadal y Del Potro juegan al tenis con taquiones

Vamos a suponer por simplicidad que la velocidad de la pelota taquiónica es infinita en el marco de referencia de la raqueta, es decir, llega a su destino instantáneamente. El saque de Del Potro es el evento A, simultáneo en su sistema de referencia con el evento B (la pelota llega a Nadal). Este devuelve la bola a velocidad infinita en su propio sistema de referencia, con lo que llega a Del Potro (evento C) ¡antes de que éste hubiera realizado el saque! De manera cuantitativa: Del Potro saca en el instante t según su reloj, y Nadal recibe la pelota en ese mismo momento según el primero. Dado que según Del Potro Nadal está en movimiento y el tiempo avanza más lentamente para él, cuando para el primero han pasado t segundos para Nadal han transcurrido t‘=t/γ. Nadal está de acuerdo en que recibe la pelota y devuelve el resto en t‘=t/γ, y puede razonar de manera simétrica para determinar cuándo llega la pelota del vuelta a Del Potro, ya que para él es este último el que se mueve. Así cuando en el reloj de Nadal es t‘=t/γ, para Del Potro han pasado t”=t‘/γ=t2<t segundos. Por lo tanto, su resto llega a Del Potro antes de que éste sacara.

Añadamos a esto que si la sorpresa de recibir el resto impide a Del Potro realizar el saque, acabamos de construir una paradoja temporal, de esas que tanto nos dan que pensar. El corolario sería que hay que jugar en tierra batida con pelotas ordinarias para evitar que el espacio-tiempo colapse, pero nos desviamos del tema. Este retroceso en el tiempo desde el punto de vista de algunos observadores es inevitable cuando se produce influencia causal entre dos eventos A y B con separación de tipo espacio, ya que hay sistemas de referencia en los que A es anterior a B y viceversa (además de sistemas de referencia en los que A y B son simultáneos). No se trata de ningún tipo de efecto visual debido al desplazamiento superlumínico, sino de una genuina inversión cronológica, que no sólo puede hacer que en un cierto sistema de referencia el efecto anteceda a la causa, sino que podría dar lugar a que el observador interfiriera con esta última después de producido el efecto, abriendo la puerta a paradojas causales. En el marco de la relatividad especial no es posible en cualquier caso construir líneas de universo de tipo espacio, por lo que este tipo de paradojas estaría excluido. Las cosas no son sin embargo tan simples si nos movemos a la relatividad general, pero eso es ya otra guerra.

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Relatividad especial, simultaneidad y paradojas: Minkowski al rescate

Posted by Carlos en octubre 27, 2008

Siguiendo con la serie sobre el espacio-tiempo de Minkowski, y antes de adentrarnos en los vericuetos de los espacios-tiempos curvos, vamos a ver un par de pinceladas más de cómo esta interpretación geométrica nos puede ayudar a entender algunos aspectos anti-intuitivos de la relatividad especial. Consideremos por ejemplo las diferentes “paradojas” que parecen surgir dentro de la teoría (la de los gemelos, la de la escalera en el granero, etc.). Dichas paradojas brotan de intentar combinar la idea clásica del espacio y el tiempo separados y absolutos -muy arraigada en nuestro subconsciente- con la del espacio-tiempo unificado con geometría minkowskiana. Tal como puede verse en el primer diagrama que empleamos para representar los sistemas de referencia de dos observadores en movimiento relativo, el espacio y el tiempo de uno son una mezcla del espacio y el tiempo del otro, y viceversa. Esto conlleva entre otras cosas que la noción de simultaneidad sea relativa a cada observador, tal como se ve en la imagen inferior.

Percepción relativa de simultaneidad por parte de observadores en movimiento relativo

Percepción relativa de simultaneidad por parte de observadores en movimiento relativo

Esta relatividad de la simultaneidad es un ingrediente esencial de muchas de las paradojas, ya que a la postre indica que la ordenación temporal relativa de dos eventos depende del observador. Por ejemplo, los eventos A y B en la imagen superior son simultáneos para O, pero para O’ A es posterior a B. Del mismo modo, C y D son simultáneos para O’, pero C es anterior a D para O. Finalmente, F es un evento anterior a E desde el punto de vista de O, pero para O’ es precisamente al contrario. Esto -unido a la velocidad finita de transmisión de las señales- permite entender muchas paradojas, como por ejemplo la del mosquito y el remache, que ya tratamos hace algún tiempo: desde el punto de vista del remache primero se produce el impacto en el fondo del orificio, y luego la cabeza choca contra la pared, mientras que para el mosquito el orden de los eventos es el inverso.

Otra paradoja muy relacionada es la de la escalera en el granero: tenemos una escalera de longitud L1 y una granero de longitud L2 (distancias medidas cuando están en reposo el uno con respecto al otro), siendo L1 > L2. Nos movemos a velocidad v hacia el granero, y desde el punto de vista de un observador en reposo dentro del mismo, el tamaño de la escalera es L1 = L1/γ < L1, donde

\gamma = \gamma(v) = 1/\sqrt{1-v^2}\geqslant 1

es el factor de Lorentz. A una velocidad lo suficientemente cercana a la de la luz, L1 < L2, por lo que este observador considerará que hay un instante en el que la escalera está totalmente contenida en el granero (para recalcar más este hecho, podemos imaginar que pulsa un botón que durante un instante cierra y luego abre la puerta delantera y la trasera del granero de manera simultánea, con lo que la escalera está efectivamente encerrada dentro del granero). Sin embargo, desde el punto de vista de la escalera el granero tiene una longitud L2 = L2/γ < L2 < L1, por lo que nunca podrá estar totalmente dentro del granero. Para este segundo observador, el extremo delantero de la escalera sale por la parte de atrás del granero antes de que la parte trasera haya entrado. Si en el diagrama anterior A y B representan el cierre de la puerta delantera y el cierre de la puerta trasera respectivamente (simultáneos para el observador en reposo en el granero), puede verse que al trazar la línea de simultaneidad para O‘ -la escalera- de  A (la puerta delantera se cierra), el evento B (la puerta trasera se cierra) es anterior.

Para resolver otra aparente paradoja como la célebre de los gemelos, no necesitamos hacer uso ni siquiera de la noción de simultaneidad, ya que como Villa indicaba en este hilo de comentarios, nos basta con recurrir a la propia geometría del espacio-tiempo. Si uno de los hermanos viaja a velocidad v hasta una distancia d=vt y vuelve a la misma velocidad (suponemos velocidad constante por simplicidad, pero realmente no es imprescindible), siempre desde el punto de vista del observador en la Tierra, el trayecto espacio-temporal A[0,0]C[t,d]B[2t,0] del viajero tiene longitud

s_{AC}^2 = s_{CB}^2=-t^2 + v^2t^2 = -t^2(1-v^2)

i.e., t_{ACB}=2t_{AC}=2\sqrt{-s^2_{AC}}=2t\sqrt{1-v^2}, mientras que el suyo en reposo en la Tierra (AB) es

s_{AB}^2 = -4t^2,

por lo que tAB=2t. Dada la invariancia del intervalo espacio-temporal, el viajero mide lo mismo (véase aquí una resolución algebraica). Ambos concluyen por lo tanto que el viajero ha envejecido menos.

El próximo día seguiremos sacándole punta a esta relatividad de la simultaneidad, y veremos cómo superar la velocidad de la luz en algún sistema de referencia puede producir paradojas causales.

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Protección anti-autorreferencial en la oficina

Posted by Carlos en diciembre 17, 2007

Dilbert y el lápiz autorreferente (c) Scott Adams

Está bien como primer paso para protegerse de las paradojas, pero si no se puede pedir algo que ya se tenga, ¿como se piden los formularios de petición de material? ¿Con un formulario especial para los formularios que no se pueden pedir a sí mismos? Esto me suena familiar

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La paradoja relativista del mosquito y el remache

Posted by Carlos en diciembre 11, 2007

Las paradojas de la relatividad especial son fascinantes, ya que demuestran hasta que punto la idea de un tiempo y un espacio absolutos está arraigada en nuestra intuición. Es bien conocida la paradoja de los gemelos, de la que ya hablamos en un par de ocasiones. Alvy comenta en Microsiervos otra paradoja menos conocida popularmente, pero que ilustra muy bien como en condiciones relativistas la falta de simultaneidad y la velocidad finita de propagación de las señales juegan una mala pasada a nuestra intuición. Esta paradoja -la de la escalera y el granero- me ha recordado otra muy relacionada e igualmente sorprendente: la del mosquito y el remache.

Supongamos que hemos conseguido acorralar a un mosquito hembra bastante pertinaz dentro de un pequeño orificio en la pared. Tomamos un pequeño remache que tenemos a mano para rematar la faena, pero rápidamente nos damos cuenta de la futilidad del intento: el orificio tiene 1cm de profundidad, pero nuestro remache sólo tiene 8 mm. El mosquito zumba triunfalmente en su escondite cuando nos damos cuenta de que tenemos una remachadora relativista Black&Einstein. Ajustamos el mando a 0.866c (lo que implica un factor relativista γ=2) y lanzamos el remache contra el orificio. En el sistema de referencia del remache -pensamos- la profundidad del orificio se verá reducida a la mitad, esto es, a 5mm, por lo que nuestro remache de 8mm aplastará al molesto díptero. Sin embargo -reflexionamos de pronto- en el sistema de referencia del mosquito el remache se acercará a toda pastilla, pero medirá solamente 4mm, por lo que si no llegaba antes, mucho menos ahora. Tenemos la paradoja servida: ¿qué destino aguarda al mosquito?

Bien, podemos estar tranquilos ya que el mosquito de esta historia no volverá a importunarnos: sus días de hematófago terminarán en lo que se tarda en dibujar un diagrama espacio-temporal. Veamos el proceso desde el punto de vista del mosquito. En el diagrama inferior (tiempo vertical y espacio horizontal) las rayas verticales azules representan la entrada y el fondo del orificio (su posición no varía en el sistema de referencia del mosquito), y las rayas rojas continuas las trayectorias de la cabeza y la punta del remache. Se ha elegido como origen de coordenadas el punto del espacio-tiempo en el que la punta del remache entra en el orificio, y la unidad de tiempo es 1cm/c.

Paradoja del mosquito y el remache (bug-rivet paradox)

Tal como vemos, un instante después de entrar la punta en el orificio la cabeza del remache llega a la boca de entrada (desde el punto de vista del mosquito, esto ocurre después de 0.4cm/0.866c = 0.462 unidades de tiempo). En ese instante la punta del remache ha recorrido sólo 4mm, pero no se detiene: todavía no se “ha dado cuenta” de que la cabeza ha llegado al tope. Suponiendo que la onda de choque se propagara a la velocidad de la luz, ésta no alcanzaría a la punta antes de que esta última impactara con el fondo del orificio 0.6cm/0.866c = 0.693 unidades de tiempo después (la línea discontinua muestra la hipotética trayectoria de la cabeza del remache de no mediar obstáculo, y la línea púrpura la onda de choque a velocidad máxima – ésta tarda 1 unidad de tiempo en recorrer la longitud del orificio). La última imagen que vería el aterrado mosquito sería la del remache estirándose hasta darle en toda la probóscide.

¿Y luego? Si asumimos que el material de la pared es impenetrable para nuestro remache, la punta del mismo sufrirá una brusca desaceleración, mandando hacia atrás una onda de choque análoga a la primera. Eventualmente todo el remache alcanzará un estado de reposo en relación al orificio, aumentando su longitud en este sistema de referencia hasta los 8mm iniciales (suponiendo que su estructura interna haya aguantado la fatiga asociada a estas aceleraciones). La visión desde el punto de vista del remache es complementaria, ya que primero se produce un impacto contra el fondo del orificio (que da cuenta del mosquito), y luego se produce el impacto de su cabeza con la boca del orificio.

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La Paradoja de Smale en vídeo: Eversión de una esfera

Posted by Carlos en noviembre 6, 2007

La paradoja de Smale es uno de los resultados más sorprendentes del área de la topología diferencial. Básicamente afirma que es posible tomar una esfera y evertirla (volverla del revés, haciendo que la superficie interior sea la exterior y viceversa) mediante transformaciones suaves que ni desgarran ni crean “arrugas” (bucles plegados infinitesimalmente) en la misma. Aunque se permite que la esfera se atraviese a sí misma, los requisitos de que no se puedan hacer desgarros ni arrugas hacen que parezca imposible realizar la eversión, y de ahí la aparente paradoja, ya que ésta sí es posible, tal como Steve Smale demostró en su tesis doctoral (para gran sorpresa inicial de Raoul Bott, su supervisor) en 1957.

La demostración de Smale no era sin embargo constructiva, sino sólo de existencia. Habría que esperar a 1961 para que Arnold Shapiro desarrollara la primera eversión explícita. Un método distinto y más general fue propuesto a mediados de los 70s por Bill Thurston. El procedimiento no es trivial de visualizar, pero el vídeo que se incluye más abajo lo muestra paso a paso con detalle, y hace uso de analogías simples para entender cómo se realiza, empezando por mostrar la eversión de curvas simples en el plano, y el concepto de número de giros (turning number). Este concepto explica cómo es imposible realizar la eversión de un círculo, y cómo sorprendentemente no hay obstáculo en una esfera. Es realmente un vídeo brillante y didáctico. Está en inglés, pero es posible acceder al guión escrito del mismo aquí. Para no perdérselo.

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La paradoja de los gemelos y las transformaciones de Lorentz

Posted by Carlos en mayo 25, 2007

Cuando hace unos días hablábamos de la paradoja de los gemelos, surgió la cuestión de cómo la geometría del espacio-tiempo de Minkowski hacía que dados dos eventos A y B, el segundo en el futuro del primero, una linea temporal recta entre los mismos experimentara un tiempo propio mayor que el de cualquier otra línea temporal no recta entre A y B. El análisis geométrico es muy elegante, pero lo vamos a dejar para una futura ocasión. Vamos a ver en su lugar un bosquejo del análisis desde un punto de vista algebraico, usando las transformaciones de Lorentz (de manera muy simplificada, ya que en realidad vamos a utilizar poco más que el factor de dilatación y la regla de composición de velocidades). En primer lugar, consideremos la figura inferior izquierda, que es (casi) la misma que figuraba en el apunte anterior sobre la paradoja de los gemelos.

Paradoja de los gemelos

Esta figura representa la situación desde el punto de vista del gemelo que se queda en casa. El gemelo astronauta viaja durante t años hacia un planeta lejano, y al llegar al mismo vuelve, empleando otros t años para ello. En total, según el gemelo sedentario, han transcurrido 2t años en la Tierra, y algunos menos en la nave espacial; concretamente, desde el punto de vista del gemelo en casa, para el viajero habrán transcurrido 2γt años, donde γ es el factor de dilatación temporal. Usando unidades en las que c = 1,

\gamma = \sqrt{1-v^2}

donde v es la velocidad del viajero. ¿Cómo es la situación desde otro punto de vista? Pensemos por ejemplo en otro observador en situación de movimiento uniforme que acompaña al viajero en su trayecto de ida, pero que nunca da la vuelta para regresar. Este observador estaría indicado por la línea magenta en la figura izquierda, y desde su punto de vista (compartido por el viajero sólo durante el trayecto de ida) la cosa es tal como se describe en la figura derecha: es la Tierra la que se aleja a velocidad v en todo momento. El viajero está en reposo con respecto a este observador hasta que decide dar la vuelta. En este sistema de referencia, esto tiene lugar tras γt años. En ese momento, el viajero se aleja del observador a gran velocidad. Dado que la velocidad de la Tierra es v para el observador, y la velocidad relativa del viajero con respecto a la Tierra -medida por cualquiera de los dos gemelos- es también v (con el signo apropiado en todos los casos), el observador aprecia como el viajero se aleja de él a velocidad 2v/(1+v2), tal como la regla de composición de velocidades relativistas indica. Cualitativamente, esto es claramente superior a v, y explica cómo aunque desde el punto de vista del observador el reloj de la Tierra va más lento que el suyo, el del viajero va todavía mucho más lento durante esa parte del recorrido.

¿Cuánto tiempo tarda el viajero en dar alcance a la Tierra? Desde el punto de vista de este observador, el diferencial de velocidad entre viajero y Tierra es v‘ = 2v/(1+v2) – v = (v-v3)/(1+v2), y la distancia inicial cuando el astronauta da la vuelta era d= γtv, por lo que el tiempo de alcance es t‘ = d/v = t(1+v2)/γ años. Durante este tiempo, el factor de dilatación temporal del viajero (medido por este observador) es

\gamma' = \sqrt{1-\frac{4v^2}{(1+v^2)^2}}

El tiempo experimentado por el viajero será entonces t” = γ’t‘, y simplificando un poco puede verse que

t''=\frac{t(1+v^2)}{\sqrt{1-v^2}}\sqrt{1-\frac{4v^2}{(1+v^2)^2}} = \frac{t(1-v^2) }{\sqrt{1-v^2}} = \gamma t

Sumando el tiempo del trayecto de ida (γt años) obtenemos efectivamente 2γt años como el tiempo transcurrido para el viajero. Por supuesto, este observador verá que la reunión de los hermanos se produce tras t(1+v2)/γ + tγ = 2t/γ años. El tiempo transcurrido según él en la Tierra es por lo tanto (2t/γ)γ=2t, como era de esperar.

Puede hacerse el mismo análisis para otro observador que acompaña al viajero durante el trayecto de vuelta. ¿Qué es lo que pasa entonces desde el punto de vista del viajero? comparte el análisis del primer observador durante los primeros γt años propios, y el análisis del segundo durante los últimos γt años. Esto supone que durante la fase de movimiento uniforme (en cualquiera de los dos sentidos) sólo “percibe” 2γ2t años en la Tierra (γ2t al inicio, y otros tantos al final). ¿Qué pasa con todo el tiempo que transcurre en la Tierra entre estos dos pequeños tramos? Para el viajero, este periodo intermedio transcurre durante el intervalo durante el que cambia su velocidad. Evidentemente, esto no quiere decir que el viajero “vea” los años pasar en un instante, ya que las señales desde la Tierra tardan un tiempo en llegar a él. Sin embargo, cuando haga cuentas para eliminar estos efectos, se dará cuenta de que ésa es la realidad para él.

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Viajes en el tiempo, paradojas causales, bolas de billar, y el principio de correspondencia

Posted by Carlos en mayo 4, 2007

Light coneLos viajes en el tiempo (hacia atrás en el tiempo, se sobreentiende) han sido siempre una cuestión fascinante, ya sea como recurso argumental en la ciencia-ficción, como rompecabezas lógico, o como tema de estudio en el ámbito de la física o de la filosofía. Uno de los elementos más interesantes de los mismos es la aparición de “paradojas”, situaciones en las que surge una contradicción causal o una incoherencia ontológica. Un ejemplo del primer tipo es la célebre paradoja del abuelo, en la que un viajero del tiempo se traslada al pasado e impide que sus abuelos se conozcan, por lo que su propia existencia no será posible en el futuro (con lo que es imposible que viajara al pasado a impedir que sus abuelos se conocieran). En cuanto al segundo tipo, un ejemplo canónico es aquel en el que alguien viaja al pasado con un ejemplar del Quijote y se lo da a Cervantes, que lo publica como obra suya (con lo que surge la cuestión de quién escribió realmente la obra). En relación a este último tipo de paradoja, puede ser divertido leer el relato corto de ciencia-ficción Gu ta gutarrak (nosotros y los nuestros), de la escritora argentina Magdalena Louján.

Este tipo de situaciones auto-inconsistentes las podemos interpretar como refutación por reducción al absurdo de algunas de nuestras suposiciones de partida. Lo complejo es determinar cuál o cuáles. Por ejemplo, la paradoja del abuelo se puede resolver si se considera la interpretación de los múltiples universos de la mecánica cuántica, y se asume entonces que el viajero en el tiempo provoca la creación de un universo alternativo. Esto supone también que cada viaje en el tiempo es un camino sin retorno al universo original. Si preferimos una solución más “económica” que no conlleve una infinitud de universos paralelos, debemos buscar explicaciones alternativas a este tipo de paradojas. En el contexto de la paradoja del abuelo, una explicación alternativa es imponer límites al libre albedrío, impidiendo que el viajero del tiempo pueda realizar acciones que causen una paradoja.

Aunque la consideración del libre albedrío es muy interesante, y da para un profundo análisis filosófico, la realidad es que no supone una solución plena a la paradoja, ya que ésta puede producirse en ausencia de entes conscientes. El ejemplo más popular lo constituye la paradoja de Polchinski, en la que intervienen bolas de billar. Concretamente, podemos imaginar un túnel del tiempo (esto es, un agujero de gusano), tal que todo lo que entra por una de sus bocas sale X segundos en el pasado por la otra. Si tenemos una situación como la descrita en la figura inferior (a), vemos como una bola de billar se dirige hacia una de las bocas, entra en ella y sale por la otra en su pasado, de manera que choca con ella misma e impide que entre por la boca inicial. Nuevamente tenemos una paradoja causal.

Polchinski paradox
Credit: Echeverría et al., Phys Rev D 44(4):1077-1099, 1991

Esta paradoja fue analizada por F. Echeverria, G. Klinkhammer, y Kip Thorne en un artículo titulado

publicado en Physical Review D (la imagen anterior está tomada de dicho artículo). En dicho trabajo, los autores muestran que con la misma configuración problemática de partida hay soluciones auto-consistentes, tal como la mostrada en la figura superior (b): la bola inicial no iba directa hacia el agujero de gusano, pero su yo futuro choca con ella y la desvía lo justo para que entre en el túnel del tiempo, con lo que sale por la otra boca en el pasado de la manera precisa para chocar consigo misma. Hay otras posibles formas en las que los choques se pueden producir resultando en una situación globalmente consistente. Cada una tiene una probabilidad (y la suma de ésta para todas las situaciones consistentes es 1), y cada vez que se observe el suceso tendrá lugar una de las mismas con la probabilidad correspondiente.

La anterior explicación es una reformulación del principio de autoconsistencia de Novikov, según el cual la probabilidad de cualquier evento paradójico es cero. Esto conlleva que pasado y futuro están entrelazados, y en cierto sentido puede decirse que nuestra percepción de un flujo temporal es sólo una ilusión, una simple visión parcial del espacio-tiempo en bloque. Esto que puede ser más o menos aceptable a nivel cuántico, un mundo muy alejado de nuestra intuición, se hace más problemático sin embargo al pasar a nivel macroscópico. Esto lo podemos ver con un experimento mental que ha diseñado Florin Moldoveanu, del Intituto Nacional de Física e Ingeniería Nuclear de Rumanía, en un trabajo titulado

(¡gracias Villa por el enlace!). El experimento es similar al de Polchinski, pero se supone que las bolas de billar tienen un explosivo en su interior, o en su defecto, que están formadas por dos mitades unidas por un material frágil que se rompe cuando se recibe un impacto por encima de cierta energía. Si realizamos el experimento anterior con bolas a baja velocidad, se producirá una secuencia de eventos auto-consistentes, pero ¿qué pasa cuando se supera justo el umbral de energía que hace que la bola se rompa? Moldoveanu considera tres posibilidades:

  1. La bola se parte, y ninguno de sus pedazos entra por el agujero de gusano.
  2. Sólo una de las mitades entra en el agujero.
  3. La bola no se rompe.

En el primer caso tenemos claramente una situación paradójica, por lo que la podemos excluir. En el segundo caso, la media bola que entra por el agujero tendrá -dice Moldoveanu- menos energía que la bola entera original, por lo que la colisión posterior no podrá romperla, y se producirá una nueva paradoja. En el tercer caso, las bolas superarían el umbral de energía de impacto sin romperse. Como el razonamiento anterior es independiente de la energía de impacto necesaria para romper las bolas, se sigue que sea cual sea ésta nunca se van a romper. Las bolas de billar deberán tener entonces resistencia infinita, lo que no es posible físicamente. Si el principio de correspondencia es válido, y las propiedades macroscópicas emanan del comportamiento cuántico, este infinito clásico implica que no hay ninguna teoría cuántica renormalizable si se permiten viajes hacia atrás en el tiempo.

El argumento de Moldoveanu tiene un punto débil: en el caso 2 una de las mitades puede quedarse con la energía y momento necesario para romper luego la bola; esta energía se la daría su yo futuro al colisionar. ¿Y de dónde sacaría esa versión futura la energía necesaria? Dejando de lado explicaciones exóticas, la posibilidad más simple es que sea el agujero de gusano el que ceda esa energía para crear la media bola del futuro e imprimirle la velocidad necesaria, y luego la recupere al introducirse la mitad original por la boca de entrada. Como decía Sherlock Holmes, cuando se elimina lo imposible lo que queda -por improbable que parezca- debe ser la verdad.

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Euler y la paradoja relativista de los gemelos

Posted by Carlos en abril 17, 2007

Leonhard EulerDado que el tejido del Universo es de la mayor perfección y la obra del más sabio Creador, nada en absoluto tiene lugar en el Universo sin que una regla de máximo o mínimo aparezca.

Leonhard Euler (1707-1783), matemático suizo

El domingo día 15 se cumplieron 300 años del nacimiento de Leonhard Euler, uno de los más grandes y más prolíficos matemáticos de todos los tiempos. Glosar su figura a estas alturas sería un ejercicio de futilidad. Cualquiera interesado en su obra o en su vida puede consultar aquí, o en cualquiera de las referencias incluidas aquí. Sí que merece la pena no obstante resaltar una vez más la clarividencia científica de Euler, reflejada por ejemplo en la cita inicial. No sólo se trata de que en esa frase Euler describa el comportamiento dinámico de un sistema físico (que dejado a su suerte “busca” el estado de mínima energía local) o el proceso evolutivo de un sistema biológico (que “busca” la configuración de máxima eficacia local). Lo realmente sorprendente es que esta frase capture con tanta viveza una propiedad física que no conoceríamos hasta el siglo XX con la formulación de la Teoría de la Relatividad, y que tiene que ver precisamente con el espacio-tiempo (el “tejido del Universo”) y con los cuerpos que se mueven en él. Concretamente, me refiero al Principio del Envejecimiento Extremo, que podemos formular como sigue:

La trayectoria que una partícula libre toma entre dos puntos del espacio-tiempo es aquella que hace que el intervalo de tiempo medido por un reloj adosado a la partícula sea extremo.

En el anterior enunciado, ‘extremo’ quiere lógicamente decir ‘máximo’ o ‘mínimo’. Este principio es extremadamente útil, y a partir de él se pueden derivar resultados muy interesantes. En este caso, vamos a ver cómo nos ayuda a entender la paradoja de los gemelos. Recordemos en prmer lugar el enunciado de la misma: un astronauta se embarca en una misión espacial que le mantiene viajando a velocidades relativistas durante x años según su hermano gemelo que permanece en la Tierra. A su vuelta, el astronauta es más joven que dicho hermano. La aparente paradoja de la situación es que podría pensarse que desde el punto de vista del astronauta, es el hermano el que ha estado moviéndose a velocidades relativistas todo el tiempo, por lo que debería ser este último el que fuera más joven.

Paradoja de los gemelosPara ver como el principio del envejecimiento extremo nos resuelve la supuesta paradoja, podemos ver en primer lugar cómo sería la situación desde el punto de vista del hermano que se queda en la Tierra. Usando un diagrama en el que el eje X es el espacio, y el eje Y es el tiempo, la situación sería como la indicada en la figura de la derecha: el hermano que se queda en la tierra tiene una trayectoria en el espacio-tiempo rectilínea, permaneciendo en s=0, y desplazándose verticalmente en la gráfica a medida que pasa el tiempo. Por su parte, el hermano astronauta a la vez que avanza en el tiempo se desplaza por el espacio alejándose, para luego volver (por simplicidad, suponemos que toda la aceleración necesaria para partir, cambiar de dirección y frenar está concentrada en un instante infinitesimal en cada uno de los tres puntos correspondientes). La longitud de cada una de las trayectorias representadas (azul para el que está en la Tierra, roja para el astronauta), representa el tiempo medido por cada uno de estos dos observadores. Puede parecer que la línea roja es más larga, pero hay que tener en cuenta que el espacio-tiempo no tiene una geometría euclídea como estamos acostumbrados, sino minkowskiana. De hecho, el principio de envejecimiento extremo nos dice que dado que el hermano que se queda en la Tierra tiene un movimiento natural (ya sabemos desde Newton que un cuerpo sobre el que no actúa fuerza externa permanece en reposo o se mueve con velocidad constante, lo que significa una trayectoria espacio-temporal rectilínea), experimentará más tiempo entre el evento A y el evento B, que cualquier otro observador que siga una trayectoria diferente. ¿Podemos hacer un razonamiento análogo para el astronauta? No, ya que de hecho al invertir su movimiento cambia de sistema de referencia. En el sistema de referencia que tenía cuando se alejaba, todo era simétrico a lo anteriormente explicado (el hermano alejándose, y el astronauta en s=0) hasta el momento en que cambia de dirección en el que la trayectoria del astronauta deja de ser rectilínea. Lo mismo se aplica al sistema de referencia que se tiene cuando se acerca. Si se usa la métrica de Minkowski, y se calculan las longitudes de las trayectorias se obtiene la solución cuantitativa al problema. La solución cualitativa es clara: el astronauta no sigue la trayectoria de una partícula libre entre A y B, por lo que experimenta menos tiempo que el hermano que no viaja.

Euler no sabía nada de astronautas, viajes relativistas, o espacio-tiempo minkowskiano, pero cuando un genio como él habla, hasta la casualidad le asiste, y nos proporciona gemas de conocimiento que podemos aplicar en situaciones insospechadas. ¡Muchas gracias por todo, Profesor Euler!

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