El espacio-tiempo de Minkowski en una cáscara de nuez (II)

La pequeña incursión en el espacio-tiempo de Minkowski que comenzamos hace un par de días nos llevó hasta el concepto de métrica. Mediante ésta se pueden medir distancias entre eventos y ángulos entre vectores en el espacio-tiempo. En el caso minkowskiano, dicha métrica difiere de la del espacio euclídeo en que el componente temporal tiene signo diferente a las dimensiones espaciales, lo que tiene consecuencias profundas en las propiedades del espacio-tiempo.

En primer lugar, vimos como en nuestro sistema de referencia en reposo, los ejes t’ y x’ de un observador en movimiento relativo con nosotros no forman un ángulo de 90º, a pesar de lo cual siguen siendo ortogonales. Es fácil verlo, ya que cualquier vector a lo largo del eje t’ tiene en el sistema de referencia de O la forma (t₁, vt₁) para un algún valor de t₁, y del mismo modo cualquier vector a lo largo del eje x’ tiene la forma (vt₂, t₂). Por lo tanto, su producto interno es -t₁vt₂+vt₁t₂=0. Por supuesto, en O’ se da la misma situación, ya que cualquier vector a lo largo de t‘ tiene la forma (t‘,0), y cualquier vector a lo largo de x‘ tiene la forma (0, x‘). De hecho, el resultado de este producto interno es el mismo en cualquier sistema de referencia, lo que es una de las grandes ventajas de este marco de trabajo. Al estar operando con objetos de naturaleza geométrica, expresiones tales como G(r,s) son independientes del sistema de referencia que estemos considerando (un vector y en general un tensor se representará de manera diferente en distintos sistemas de coordenadas, pero el objeto geométrico es siempre el mismo).

Esta invariancia es especialmente importante cuando se mide la distancia entre eventos del espacio-tiempo. Consideremos dos eventos A y B, y un vector s que los une. En el espacio euclídeo tenemos G(s,s)=s², esto es, un valor positivo que representa el módulo al cuadrado del vector s. Sin embargo, en el espacio-tiempo de Minkowski esta cantidad puede tomar un valor negativo. Dicha cantidad sigue representando no obstante una distancia o una separación entre puntos del espacio-tiempo, y dependiendo de su signo puede ser de tres tipos:

• Si s²>0 tenemos dos puntos del espacio-tiempo con separación de tipo espacio. Lo que ocurra en uno de estos eventos no influirá causalmente en el otro, ya que la pendiente m de la recta que los une verifica 1/m>1 (i.e., haría falta comunicación a velocidad superlumínica para transportar dicha influencia causal – aquí cabría hacer algún comentario sobre la paradoja EPR, pero lo dejamos para mejor ocasión).
• Si s²<0 tenemos dos puntos del espacio-tiempo con separación de tipo tiempo. Un observador podría desplazarse entre los mismos, esto es, uno de los eventos estaría en el cono de luz futuro del otro.
• Si s²=0 tenemos dos puntos con separación de tipo nulo. Además del caso trivial en el que los dos puntos coincidan, esta separación indica que un rayo de luz puede conectar ambos eventos.

En la figura inferior se muestra la situación relativa de estos eventos con respecto a un observador. Todos los eventos cuya separación con respecto a dicho observador es de tipo tiempo están dentro de su cono de luz (futuro o pasado cronológico). La frontera del cono de luz la forman precisamente los eventos con separación de tipo nulo, y su unión con el futuro/pasado cronológico define el futuro/pasado causal.

Estructura del espacio-tiempo de Minkowski

Estos intervalos espacio-temporales tienen además una interpretación muy relevante. Una separación de tipo tiempo representa el tiempo propio experimentado por un observador que se desplaza entre dichos eventos. Del mismo modo, una separación de tipo espacio representa la distancia medida por la regla de un observador en el que ambos eventos son simultáneos. Todo esto es sumamente interesante, ya que nos permite derivar las transformaciones de Lorentz. Por ejemplo, consideremos un observador que se desplaza a velocidad v con respecto a nosotros. Sincronizamos nuestros relojes cuando nos cruzamos, y vemos que tras un tiempo t en nuestro reloj, el otro observador está en x=vt. Para este segundo observador habrá pasado un tiempo t’ y el no habrá percibido movimiento (i.e., x‘=0). Dada la invariancia del intervalo espacio-temporal tenemos que -t²+v²t²=-t‘², o lo que es lo mismo tras despejar, t‘=t(1-v²)^1/2. Hemos obtenido la dilatación temporal, y razonando de manera análoga podemos obtener la dilatación espacial. Chachi, ¿verdad?

El espacio-tiempo de Minkowski en una cáscara de nuez

Hace un par de días celebrábamos el centenario del nacimiento del concepto de espacio-tiempo, y de su presentación en sociedad por parte de Hermann Minkowski. Gracias a él, la relatividad especial de Einstein se dotó de una interpretación geométrica sumamente poderosa y elegante, que además de permitir reconciliar las percepciones aparentemente paradójicas de diferentes observadores, fue el punto de partida para la generalización de la teoría. Existen diferentes formas de definir el espacio-tiempo de Minkowski de manera formal, pero para simplificar vamos a ver una aproximación más cualitativa.

Empecemos por considerar la perspectiva de un cierto observador O, que vamos a representar en un diagrama en el que el eje vertical t es el tiempo, y el eje horizontal x es el espacio (como es habitual, supondremos por simplicidad en el diagrama que hay una única dimensión espacial). Si elegimos unidades en las que la velocidad de la luz es c=1, un pulso de luz que se aleja de O se representaría mediante una diagonal de 45º, bisectriz del ángulo formado por los ejes t y x, como se ve en la figura inferior (la línea amarilla punteada representa el pulso de luz).

Imaginemos ahora un segundo observador O‘ en estado de movimiento uniforme relativo con respecto a O. Su trayectoria se representaría según este último como la recta t’, que formaría un ángulo menor de 45º con t, por tratarse de una trayectoria a velocidad inferior a la de la luz. Es fácil ver de hecho que la pendiente de esta recta es 1/v. Este segundo observador se percibirá a sí mismo en reposo, por lo que su trayectoria representa la recta x’=0, o lo que es lo mismo, el eje de tiempo en su sistema de referencia. Dado que la velocidad de la luz es la misma para todos los observadores, la trayectoria del pulso de luz también será bisectriz del ángulo formado por t’ y x’, lo que nos da la posición de este último eje. Su pendiente será precisamente v, la velocidad de O‘ relativa a O. Puede parecer sorprendente en primera instancia que los ejes t’ y x’ no formen un ángulo de 90º tal y como t y x, pero hay que recordar que no estamos en el espacio euclídeo al que estamos acostumbrados, sino en un espacio con una geometría diferente. De hecho, en un sentido profundo t’ y x’ son ortogonales, de la misma manera que t y x, aunque para constatar esto necesitamos un elemento adicional: la métrica.

Intuitivamente, la métrica es el mecanismo que empleamos para medir distancias entre puntos del espacio-tiempo. Matemáticamente se trata de un tensor G de tipo (0,2), esto es, de una función lineal en sus dos parámetros, que toma dos vectores y devuelve un número real. Dicho valor real G(r,s) es precisamente el producto interno de los vectores r y s, y en un cierto sistema de referencia puede expresarse como

donde g_αβ, r^α, y s^β son los componentes en dicho sistema de referencia del tensor métrico G y de los vectores r y s respectivamente (normalmente se emplea en estos casos una notación más cómoda en la que los sumatorios están implícitos cuando se da una cierta coincidencia entre sub- y superíndices). Puede verse que en el espacio euclídeo al que estamos más acostumbrados, la métrica se expresaría en un sistema de referencia ortonormal como una matriz identidad, es decir, g_αβ=1 si α=β, y g_αβ=0 en otro caso. De esa manera, recuperamos el producto escalar en la forma bien conocida:

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En el espacio-tiempo de Minkowski la métrica es muy similar, y únicamente hay una diferencia: uno de los elementos de la diagonal (el que corresponde con la dimensión temporal) tiene signo distinto al resto de elementos (las dimensiones espaciales). Vamos a suponer que dicho signo es negativo (sin pérdida de generalidad, ya que es equivalente suponer lo contrario). Hablamos entonces de signatura (­-+++). El próximo día consideraremos las implicaciones de esta métrica, y cómo las transformaciones de Lorentz pueden obtenerse a partir de la misma.

100 Años del Espacio-Tiempo de Minkowski

Hermann Minkowski (1864 - 1909)

“Las ideas del espacio y el tiempo que deseo exponer ante Vds. han brotado del suelo de la física experimental, y ahí reside su fuerza. Son radicales. En lo sucesivo el espacio por sí mismo, y el tiempo por sí mismo están condenados a desvanecerse en meras sombras, y sólo un tipo de unión de ambos mantendrá una realidad independiente.“

Hermann Minkowski, 21 de septiembre de 1908

Tal día como hoy hace exactamente 100 años Hermann Minkowski, profesor de Matemáticas en la Universidad de Gotinga, se dirigió a la 80ª Asamblea de Físicos y Científicos Naturales Alemanes y pronunció las palabras anteriores. Había nacido el concepto del espacio-tiempo.

Minkowski, matemático alemán de origen judeo-polaco nacido en Lituania (Europa era un lugar divertido en aquella época, crisol de culturas and all the fish), tuvo siempre a la geometría como su área de trabajo fundamental, por lo que no es de extrañar que fuera él el que diera el paso decisivo para dotar de interpretación geométrica a la Relatividad Especial. Curiosamente, el propio Einstein no supo apreciar inicialmente el valor de esta interpretación, y la consideró como poco más que una reformulación artificiosamente compleja de los principios de la Relatividad. Visto con retrospectiva, resulta interesante que en aquellos primeros años Einstein no valorara en su justo grado la elegancia y la simplicidad del espacio-tiempo de Minkowski. Es posible que además de un cierto anhelo -sui generis, habría que decir- de mantener las cosas sencillas, Einstein no fuera del todo ajeno a la impresión personal que de Minkowski tenía. Hay que recordar que éste fue uno de sus profesores en el Politécnico de Zurich, y que como con muchos otros docentes del ETH, su relación con él durante los estudios no fue buena. De hecho, cuando Minkowski tuvo conocimiento por primera vez del trabajo de Einstein en relación a la Relatividad Especial le comentó a Max Born:

“Ah, ¿Einstein? Siempre se saltaba las clases. Nunca le hubiera creído capaz de esto.“

Sin embargo, hay que poner en el haber de Minkowski que -a diferencia de otros profesores- no sólo llegara a aceptar y trabajar en los postulados de Einstein, sino que descubriera una visión de la Relatividad Especial -el espacio-tiempo plano y absoluto- que unos años más tarde sería la base de partida de Einstein para la incorporación de la gravedad en la teoría, y el consiguiente desarrollo de la Relatividad General. Esto ocurría a partir de 1912, pero Minkowski no vivió para verlo. Una apendicitis fulminante acabó con su vida a la edad de 44 años en 1909. Su legado es sin embargo imperecedero, y si el tiempo y la autoridad lo permiten, volverá a estas páginas en los próximos días.

Einstein explicando que E=mc2

El siguiente vídeo contiene la voz de Albert Einstein explicando brevemente la equivalencia entre masa y energía. La verificación experimental de Cockcroft y Walton que menciona hace referencia al experimento que éstos realizaron en 1932, usando el que luego se llamaría generador de Cockcroft-Walton como fuente de energía para un acelerador de partículas que sería el primero de la Historia en producir una desintegración atómica (bombardeando átomos de Litio con protones de alta energía, y transmutándolo en Helio y otros elementos químicos). Por este logro conseguirían en 1951 el Premio Nobel de Física.

La mente más maravillosa del siglo XX

“Si voy a mi oficina es únicamente para tener el privilegio de volver luego a casa paseando con Gödel“
Albert Einstein (1879-1955), físico germano-estadounidense

 

¿Quién era esta persona a la que Einstein tenía en tanta estima? Pues únicamente el lógico más brillante desde Aristóteles, muy posiblemente la mente más preclara del siglo XX, y sin ningún género de dudas una de las personas que cambió nuestra concepción de la realidad. Mucho más joven que Einstein, Kurt Gödel era de los pocos a los que el gran maestro de Ulm consideraba entre sus iguales, y ciertamente se encontraba entre los muy pocos con el empaque intelectual para permitirse darle la réplica en sus legendarias conversaciones sobre física y matemáticas. Gödel compartía con Einstein su genialidad y su oposición a las líneas de pensamiento dominantes en la época. Al igual que la Teoría de la Relatividad demolió la idea de un espacio y un tiempo independientes, absolutos, e inmutables, sus Teoremas de Incompletitud cambiaron el rumbo de la filosofía y las matemáticas, demostrando la inherente inaprehensibilidad del concepto de verdad matemática absoluta y completa. Y al igual que Einstein se alejó de la mayoría de comunidad física al oponerse a la teoría cuántica como modelo final del Cosmos, Gödel hizo lo propio al aferrarse a sus ideas platónicas sobre las matemáticas.

La vida de Gödel nunca fue simple, empezando por la relación afectiva con la que se convertiría en su mujer (que contó con la oposición de la familia de Gödel), continuando por la anexión de Austria por la Alemania Nazi (que motivaría finalmente su huida cuando estalló la Segunda Guerra Mundial), y terminando con el deterioro de su salud mental en sus últimos años en los EE.UU. De esta última época se cuentan historias acerca de sus temores paranoicos (que finalmente acabarían por causarle la muerte por inanición), pero prefiero quedarme con la genial anécdota de su nacionalización estadounidense.

Siendo alguien que se tomaba las cosas realmente en serio, aunque se pudiera tratar de meras formalidades, decidió estudiar en detalle la Constitución de los EE.UU. para su examen de nacionalización. El día antes del mismo llamó a Oskar Morgenstern -brillante matemático de origen alemán, padre de la Teoría de Juegos- muy nervioso; había descubierto una inconsistencia lógica en la Constitución por la que se podía instaurar una dictadura en los EE.UU. Morgenstern intentó calmarle, temeroso de las consecuencias que un comentario sobre eso podría tener sobre sus posibilidades de nacionalizarse. Al día siguiente el propio Morgenstern y Einstein acompañaron a Gödel, intentando distraerle para que olvidara el asunto. El juez Philip Forman, impresionado por el dúo de genios que hacían de padrinos les permitió quedarse durante el examen. En el desarrollo del mismo le pregunto a Gödel “Vd. tenía la nacionalidad alemana hasta ahora, ¿no?” -”Austriaca” le corrigió Gödel; “Es igual” -prosiguió el juez- “aquello fue durante una horrible dictadura, pero afortunadamente eso no puede pasar aquí“; “¡De ninguna manera, yo puedo demostrarle que sí!” afirmó Gödel, que comenzó a explicarle el mecanismo que había descubierto. Afortunadamente, el juez Forman le interrumpió, y Einstein y Morgenstern consiguieron calmar a Gödel, que poco más tarde juraría su nueva nacionalidad. Es aún un misterio qué fue lo que Gödel había descubierto. Algunos expertos apuntan que podría tratarse del Artículo V que describe cómo se cambia la Constitución, pero no pone límites en dichos cambios, aunque es difícil creer que fuera algo tan relativamente simple lo que hubiera llamado la atención de Gödel.

La fascinación de Gödel por el pensamiento puro le llevó a analizar lo que el consideraba la cuestión filosófica por excelencia: el tiempo. Su conclusión fue, como casi todo en él, extrema pero sólida en sus términos. Para Gödel el tiempo -tal como intuitivamente se entendía, con su noción de pasado y futuro- no existía. Esta idea general la plasmó en una solución a las ecuaciones de campo de Einstein que no daba lugar a un universo estático (como Einstein erróneamente postulaba inicialmente), ni a un universo en expansión (como Lemaître descubrió, de manera consistente con la observación), sino a un universo en rotación en el que era posible viajar al pasado, lo que elimina la propia noción de pasado y futuro. Y si había un universo en el que esto era así (aunque no fuera el nuestro), el papel del tiempo se derruía, ya que dejaba de ser necesario en términos absolutos, y para Gödel lo que no era necesario, no era.

Kurt Gödel murió en 1978. Fue uno de esos genios irrepetibles cuya inteligencia desbordante alumbra el Universo, y que no aparecen todos los siglos. Gödel dejó de estar entre nosotros, pero como Palle Yourgrau sentenció, “en un sentido profundo, todos vivimos en el Universo de Gödel”.