La Singularidad Desnuda

Un universo impredecible de pensamientos y cavilaciones sobre ciencia, tecnología y otros conundros

Archive for 29 septiembre 2008

El Universo Observable (Randall Munroe depinxit)

Posted by Carlos en septiembre 29, 2008

Heights

Posiblemente la viñeta con más guiños geek por mm2 de los últimos meses. Hasta el alttext es de nota (la silueta de la Torre Eiffel es una exponencial -o más precisamente, la unión de dos tramos exponenciales- por lo que al representarla en escala logarítmica vertical, se obtendrían rectas).

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Música para el domingo – Pure (Lightning Seeds)

Posted by Carlos en septiembre 28, 2008

El domingo es día de asueto y nada mejor que un poco de música para amenizarlo. Por ejemplo, esta preciosa canción de Lightning Seeds titulada “Pure“. Fue el primer single de la banda inglesa, allá por 1989, y constituye sin duda uno de sus temas más recordados. De hecho, no superarían el éxito de esta canción hasta 7 años más tarde, cuando compusieron “Three Lions” como himno popular de la selección inglesa para la Eurocopa de Inglaterra 1996 (luego volverían a reeditarla con letra diferente para el Mundial de Francia 1998). En cualquier caso, “Pure” sigue siendo para muchos la canción de referencia de la banda. ¡Que la disfruten!

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El espacio-tiempo de Minkowski en una cáscara de nuez (II)

Posted by Carlos en septiembre 26, 2008

La pequeña incursión en el espacio-tiempo de Minkowski que comenzamos hace un par de días nos llevó hasta el concepto de métrica. Mediante ésta se pueden medir distancias entre eventos y ángulos entre vectores en el espacio-tiempo. En el caso minkowskiano, dicha métrica difiere de la del espacio euclídeo en que el componente temporal tiene signo diferente a las dimensiones espaciales, lo que tiene consecuencias profundas en las propiedades del espacio-tiempo.

En primer lugar, vimos como en nuestro sistema de referencia en reposo, los ejes t’ y x’ de un observador en movimiento relativo con nosotros no forman un ángulo de 90º, a pesar de lo cual siguen siendo ortogonales. Es fácil verlo, ya que cualquier vector a lo largo del eje t’ tiene en el sistema de referencia de O la forma (t1, vt1) para un algún valor de t1, y del mismo modo cualquier vector a lo largo del eje x’ tiene la forma (vt2, t2). Por lo tanto, su producto interno es -t1vt2+vt1t2=0. Por supuesto, en O’ se da la misma situación, ya que cualquier vector a lo largo de t‘ tiene la forma (t‘,0), y cualquier vector a lo largo de x‘ tiene la forma (0, x‘). De hecho, el resultado de este producto interno es el mismo en cualquier sistema de referencia, lo que es una de las grandes ventajas de este marco de trabajo. Al estar operando con objetos de naturaleza geométrica, expresiones tales como G(r,s) son independientes del sistema de referencia que estemos considerando (un vector y en general un tensor se representará de manera diferente en distintos sistemas de coordenadas, pero el objeto geométrico es siempre el mismo).

Esta invariancia es especialmente importante cuando se mide la distancia entre eventos del espacio-tiempo. Consideremos dos eventos A y B, y un vector s que los une. En el espacio euclídeo tenemos G(s,s)=s2, esto es, un valor positivo que representa el módulo al cuadrado del vector s. Sin embargo, en el espacio-tiempo de Minkowski esta cantidad puede tomar un valor negativo. Dicha cantidad sigue representando no obstante una distancia o una separación entre puntos del espacio-tiempo, y dependiendo de su signo puede ser de tres tipos:

  • Si s2>0 tenemos dos puntos del espacio-tiempo con separación de tipo espacio. Lo que ocurra en uno de estos eventos no influirá causalmente en el otro, ya que la pendiente m de la recta que los une verifica 1/m>1 (i.e., haría falta comunicación a velocidad superlumínica para transportar dicha influencia causal – aquí cabría hacer algún comentario sobre la paradoja EPR, pero lo dejamos para mejor ocasión).
  • Si s2<0 tenemos dos puntos del espacio-tiempo con separación de tipo tiempo. Un observador podría desplazarse entre los mismos, esto es, uno de los eventos estaría en el cono de luz futuro del otro.
  • Si s2=0 tenemos dos puntos con separación de tipo nulo. Además del caso trivial en el que los dos puntos coincidan, esta separación indica que un rayo de luz puede conectar ambos eventos.

En la figura inferior se muestra la situación relativa de estos eventos con respecto a un observador. Todos los eventos cuya separación con respecto a dicho observador es de tipo tiempo están dentro de su cono de luz (futuro o pasado cronológico). La frontera del cono de luz la forman precisamente los eventos con separación de tipo nulo, y su unión con el futuro/pasado cronológico define el futuro/pasado causal.

Estructura del espacio-tiempo de Minkowski

Estructura del espacio-tiempo de Minkowski

Estos intervalos espacio-temporales tienen además una interpretación muy relevante. Una separación de tipo tiempo representa el tiempo propio experimentado por un observador que se desplaza entre dichos eventos. Del mismo modo, una separación de tipo espacio representa la distancia medida por la regla de un observador en el que ambos eventos son simultáneos. Todo esto es sumamente interesante, ya que nos permite derivar las transformaciones de Lorentz. Por ejemplo, consideremos un observador que se desplaza a velocidad v con respecto a nosotros. Sincronizamos nuestros relojes cuando nos cruzamos, y vemos que tras un tiempo t en nuestro reloj, el otro observador está en x=vt. Para este segundo observador habrá pasado un tiempo t’ y el no habrá percibido movimiento (i.e., x‘=0). Dada la invariancia del intervalo espacio-temporal tenemos que -t2+v2t2=-t2, o lo que es lo mismo tras despejar, t‘=t(1-v2)1/2. Hemos obtenido la dilatación temporal, y razonando de manera análoga podemos obtener la dilatación espacial. Chachi, ¿verdad?

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El espacio-tiempo de Minkowski en una cáscara de nuez

Posted by Carlos en septiembre 24, 2008

Hace un par de días celebrábamos el centenario del nacimiento del concepto de espacio-tiempo, y de su presentación en sociedad por parte de Hermann Minkowski. Gracias a él, la relatividad especial de Einstein se dotó de una interpretación geométrica sumamente poderosa y elegante, que además de permitir reconciliar las percepciones aparentemente paradójicas de diferentes observadores, fue el punto de partida para la generalización de la teoría. Existen diferentes formas de definir el espacio-tiempo de Minkowski de manera formal, pero para simplificar vamos a ver una aproximación más cualitativa.

Empecemos por considerar la perspectiva de un cierto observador O, que vamos a representar en un diagrama en el que el eje vertical t es el tiempo, y el eje horizontal x es el espacio (como es habitual, supondremos por simplicidad en el diagrama que hay una única dimensión espacial). Si elegimos unidades en las que la velocidad de la luz es c=1, un pulso de luz que se aleja de O se representaría mediante una diagonal de 45º, bisectriz del ángulo formado por los ejes t y x, como se ve en la figura inferior (la línea amarilla punteada representa el pulso de luz).

Imaginemos ahora un segundo observador O en estado de movimiento uniforme relativo con respecto a O. Su trayectoria se representaría según este último como la recta t’, que formaría un ángulo menor de 45º con t, por tratarse de una trayectoria a velocidad inferior a la de la luz. Es fácil ver de hecho que la pendiente de esta recta es 1/v. Este segundo observador se percibirá a sí mismo en reposo, por lo que su trayectoria representa la recta x’=0, o lo que es lo mismo, el eje de tiempo en su sistema de referencia. Dado que la velocidad de la luz es la misma para todos los observadores, la trayectoria del pulso de luz también será bisectriz del ángulo formado por t’ y x’, lo que nos da la posición de este último eje. Su pendiente será precisamente v, la velocidad de O relativa a O. Puede parecer sorprendente en primera instancia que los ejes t’ y x’ no formen un ángulo de 90º tal y como t y x, pero hay que recordar que no estamos en el espacio euclídeo al que estamos acostumbrados, sino en un espacio con una geometría diferente. De hecho, en un sentido profundo t’ y x’ son ortogonales, de la misma manera que t y x, aunque para constatar esto necesitamos un elemento adicional: la métrica.

Intuitivamente, la métrica es el mecanismo que empleamos para medir distancias entre puntos del espacio-tiempo. Matemáticamente se trata de un tensor G de tipo (0,2), esto es, de una función lineal en sus dos parámetros, que toma dos vectores y devuelve un número real. Dicho valor real G(r,s) es precisamente el producto interno de los vectores r y s, y en un cierto sistema de referencia puede expresarse como

{\mathbf G}({\mathbf r}, {\mathbf s}) = \sum_{\alpha,\beta}g_{\alpha\beta}r^{\alpha}s^{\beta}

donde gαβ, rα, y sβ son los componentes en dicho sistema de referencia del tensor métrico G y de los vectores r y s respectivamente (normalmente se emplea en estos casos una notación más cómoda en la que los sumatorios están implícitos cuando se da una cierta coincidencia entre sub- y superíndices). Puede verse que en el espacio euclídeo al que estamos más acostumbrados, la métrica se expresaría en un sistema de referencia ortonormal como una matriz identidad, es decir, gαβ=1 si α=β, y gαβ=0 en otro caso. De esa manera, recuperamos el producto escalar en la forma bien conocida:

{\mathbf r}\cdot{\mathbf s} = \sum_{\alpha}r^{\alpha}s^{\alpha}.

En el espacio-tiempo de Minkowski la métrica es muy similar, y únicamente hay una diferencia: uno de los elementos de la diagonal (el que corresponde con la dimensión temporal) tiene signo distinto al resto de elementos (las dimensiones espaciales). Vamos a suponer que dicho signo es negativo (sin pérdida de generalidad, ya que es equivalente suponer lo contrario). Hablamos entonces de signatura (­-+++). El próximo día consideraremos las implicaciones de esta métrica, y cómo las transformaciones de Lorentz pueden obtenerse a partir de la misma.

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Música para el domingo – Im Wagen vor mir (Henry Valentino & Uschi)

Posted by Carlos en septiembre 21, 2008

El domingo es día de asueto y nada mejor que un poco de música para amenizarlo. Por ejemplo, esta divertida y bonita canción de Henry Valentino titulada “Im Wagen vor mir“. Lanzada en 1977, fue el mayor éxito de Henry Valentino (cuyo nombre real es Hans Blum). La canción cuenta una historia inocente, aunque con su punto gamberro (y tal como están las cosas hoy en día, igual incluso delictivo): el protagonista masculino va tranquilamente conduciendo por la autopista, y se da cuenta de que en el coche de delante va una muchacha muy guapa. Aprovechando que le pilla de camino y que no tiene prisa ese día, decide conducir con calma, sin adelantarla, y fantaseando sobre qué estará oyendo en la radio, a dónde se dirigirá, etc. La protagonista femenina que ve que tiene un coche detrás que no la adelanta empieza a ponerse nerviosa, y a pensar quién y por qué puede estar siguiéndola. La canción alterna los pensamientos alegres del conductor, disfrutando del paseo y del buen tiempo, con los de la conductora cada vez más preocupada, y que acaba por tomar la primera salida de la autopista y esconderse. ¡Que lo disfruten!

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100 Años del Espacio-Tiempo de Minkowski

Posted by Carlos en septiembre 21, 2008

Hermann Minkowski (1864 - 1909)

Hermann Minkowski (1864 - 1909)

Las ideas del espacio y el tiempo que deseo exponer ante Vds. han brotado del suelo de la física experimental, y ahí reside su fuerza. Son radicales. En lo sucesivo el espacio por sí mismo, y el tiempo por sí mismo están condenados a desvanecerse en meras sombras, y sólo un tipo de unión de ambos mantendrá una realidad independiente.

Hermann Minkowski, 21 de septiembre de 1908

Tal día como hoy hace exactamente 100 años Hermann Minkowski, profesor de Matemáticas en la Universidad de Gotinga, se dirigió a la 80ª Asamblea de Físicos y Científicos Naturales Alemanes y pronunció las palabras anteriores. Había nacido el concepto del espacio-tiempo.

Minkowski, matemático alemán de origen judeo-polaco nacido en Lituania (Europa era un lugar divertido en aquella época, crisol de culturas and all the fish), tuvo siempre a la geometría como su área de trabajo fundamental, por lo que no es de extrañar que fuera él el que diera el paso decisivo para dotar de interpretación geométrica a la Relatividad Especial. Curiosamente, el propio Einstein no supo apreciar inicialmente el valor de esta interpretación, y la consideró como poco más que una reformulación artificiosamente compleja de los principios de la Relatividad. Visto con retrospectiva, resulta interesante que en aquellos primeros años Einstein no valorara en su justo grado la elegancia y la simplicidad del espacio-tiempo de Minkowski. Es posible que además de un cierto anhelo -sui generis, habría que decir- de mantener las cosas sencillas, Einstein no fuera del todo ajeno a la impresión personal que de Minkowski tenía. Hay que recordar que éste fue uno de sus profesores en el Politécnico de Zurich, y que como con muchos otros docentes del ETH, su relación con él durante los estudios no fue buena. De hecho, cuando Minkowski tuvo conocimiento por primera vez del trabajo de Einstein en relación a la Relatividad Especial le comentó a Max Born:

Ah, ¿Einstein? Siempre se saltaba las clases. Nunca le hubiera creído capaz de esto.

Sin embargo, hay que poner en el haber de Minkowski que -a diferencia de otros profesores- no sólo llegara a aceptar y trabajar en los postulados de Einstein, sino que descubriera una visión de la Relatividad Especial -el espacio-tiempo plano y absoluto- que unos años más tarde sería la base de partida de Einstein para la incorporación de la gravedad en la teoría, y el consiguiente desarrollo de la Relatividad General. Esto ocurría a partir de 1912, pero Minkowski no vivió para verlo. Una apendicitis fulminante acabó con su vida a la edad de 44 años en 1909. Su legado es sin embargo imperecedero, y si el tiempo y la autoridad lo permiten, volverá a estas páginas en los próximos días.

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La conciencia ecológica en Alemania…

Posted by Carlos en septiembre 15, 2008

… está muy arraigada. Es bien conocida la meticulosidad de sus políticas de gestión de residuos, basados en la separación y recogida selectiva. Claro que a veces la cosa puede derivar en situaciones como ésta:

Ecological concern

Puede resultar fastidioso si has bebido más de una cosa, o mucho de una y no te acuerdas de cuál. La moraleja es: bebe con responsabilidad (y baja al servicio antes de cambiar de bebida).

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Música para el domingo – Wuthering Heights (Kate Bush)

Posted by Carlos en septiembre 14, 2008

El domingo es día de asueto y nada mejor que un poco de música para amenizarlo. Por ejemplo, esta preciosa canción de Kate Bush titulada “Wuthering Heights“. Basada en la novela homónima de Emily Brontë (con quien curiosamente Kate Bush comparte el día de nacimiento), fue compuesta por la cantante británica a la edad de 18 años, y elegido por ella para ser su primer single en 1978. constituyó un éxito inmediato, y el mayor del que ha disfrutado hasta la fecha. Es una canción que transmite una gran carga emocional, y que parece no envejecer. ¡Que la disfruten!

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Los depósitos de material orgánico en el Ártico son mayores de lo pensado

Posted by Carlos en septiembre 11, 2008

Hace unos días hablábamos de cómo el incremento de las temperaturas puede provocar un paulatino deshielo del permafrost ártico, dejando expuesta una gran cantidad de material orgánico cuya descomposición lanzaría cantidades ingentes de CO2 a la atmósfera. Para determinar el riesgo que esto supone hay que avanzar en la comprensión de la dinámica del permafrost por un lado, y debe realizarse una estimación ajustada de la cantidad de material orgánico contenido en el subsuelo ártico por otro lado. Este segundo aspecto parece ser un tema en el que se está desarrollando una intensa actividad, a juzgar por los trabajos que han aparecido al respecto en los últimos tiempos. Además del trabajo de Schuur et al. en el que se hacía una estimación global de la cantidad de material orgánico almacenado en el permafrost, esta semana ha aparecido otro trabajo en Nature Geosciences en el que se trata en detalle el caso del territorio ártico norteamericano. El artículo en cuestión ha sido realizado por Chien-Lu Ping y 6 colaboradores, de las Universidades de Alaska en Fairbanks y de la Universidad de Virginia, y lleva por título

En este trabajo intentan subsanar las deficiencias en las estimaciones anteriores de dicha cantidad de material orgánico, y que se basaban únicamente en 5 muestras superficiales (40cm) para un área de 5.05·1012 m2 (i.e., poco más de 5 millones de km2).

Mapa del paisaje ártico norteamericano (10.1038/ngeo284)

Mapa del paisaje ártico norteamericano (credit: Ping et al., Nature Geosciences, doi:10.1038/ngeo284)

Para realizar su estudio, Ping et al. han combinado datos existentes con muestreos directos siguiendo un enfoque sistemático, orientado a cubrir los diferentes tipos de terreno existentes en la zona ártica. Este extremo es importante, ya que la distribución de material orgánico no es en absoluto uniforme. Así, mientras en las tierras bajas y en las tundras de las tierras altas hay grandes cantidades, en los pedregales y montañas la presencia de material orgánico es muchísimo menor. Concretamente, usando los datos de 139 excavaciones se ha determinado que en los dos primeros tipos de terreno hay 55.1 kg/m2 y 40.6 kg/m2 respectivamente, mientras que en los dos segundos sólo hay 3.4 kg/m2 y 3.8 kg/m2. Combinando ambas estimaciones en función de la proporción de cada tipo de terreno, se llega a una media global para la zona de 34.8 kg/m2, siempre considerando hasta 1m de profundidad. Proyectando estos resultados a un área de 2.82 millones de km2, que representaría las tierras del Ártico norteamericano, excluyendo glaciares y lagos, se llega a una estimación de 98.2 Pg de material orgánico.

Aunque esta cifra no resulta muy alta en relación a la estimación total que hacían Schuur et al., es importante resaltar que las estimaciones previas para esta zona eran de unos 21.8 kg/m2, i.e., casi un 40% inferior (o lo que es lo mismo, la nueva cifra es un 60% superior a la anterior). Será interesante determinar si esta subestimación es extrapolable en todo o en parte al resto de zonas árticas, lo que se traduciría en un aumento del riesgo potencial en algunos de los escenarios descritos a medio plazo para la región.

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Los “osos de agua” sobreviven a la exposición al ambiente espacial

Posted by Carlos en septiembre 9, 2008

La posibilidad de que haya formas de vida (o proto-vida) capaz de sobrevivir a un viaje espacial es un tema al que se le viene dando vueltas desde hace siglos. La hipótesis de la panspermia se basa precisamente en la idea de que la vida sobre la Tierra surgió a partir de la llegada de esporas o microorganismos de algún tipo en cometas o meteoritos. Para que un viaje de estas características fuera posible es preciso que se den tres circunstancias: (1) que los organismos en cuestión sobrevivan al lanzamiento al espacio, (2) que sobrevivan al viaje, y (3) que sobrevivan a la reentrada en el planeta destino. Los puntos (1) y (3) son bastante dependientes de las condiciones particulares en las que se produce el lanzamiento/llegada, y no es descabellado suponer que existe la posibilidad de que bien sea a través de impactos meteoríticos, o simplemente a través de un programa espacial (la contaminación de las sondas es algo que se toma muy en serio por las agencias aerospaciales; considérese por ejemplo el caso de la sonda Galileo, que fue lanzada contra Júpiter para evitar la contaminación accidental de Europa), se pueda producir la transferencia de formas de vida. Por supuesto, siempre y cuando se salve el punto (2), la supervivencia en el espacio exterior durante el viaje.

La supervivencia en el vacío espacial es extremadamente difícil para las formas de vida terrestre, como es fácil imaginar. Los organismos que se vieran expuestos a este ambiente tendrían que hacer frente a la microgravedad, temperaturas extremas (de apenas unos 4ºK en el espacio profundo, mayor -e incluso potencialmente letal- si hay exposición directa a la luz solar), presiones ínfimas (del orden de 10-14 Pa, aproximadamente 10-19 atmósferas), y altas dosis de radiación ionizante (al menos tres órdenes de magnitud superior a la que se recibe en la superficie terrestre). Existen diversos extremófilos que pueden soportar algunas de estas condiciones, pero sobrevivir a la combinación de todas ellas durante un periodo potencialmente muy largo de tiempo es indudablemente un desafío biológico. Este desafío es incluso superior si en lugar de microorganismos unicelulares simples consideramos organismos pluricelulares. Pues bien, sorprendentemente parece haber organismos capaces de sobrevivir en estas hostiles circunstancias, tal como K. Ingemar Jönsson y 4 colaboradores, de las Universidades de Kristianstad, Sttutgart y Estocolmo, acaban de mostrar en un artículo titulado

recién aparecido en Current Biology. El estudio de Jönsson et al. se centra en los tardígrados, popularmente conocidos como “osos de agua” (hay un par de páginas muy buenas con fotografías y películas sobre tardígrados aquí y aquí). Se trata de unos pequeños invertebrados de hasta 1.2 mm de tamaño que constituyen un filo propio, y que tienen la curiosa propiedad de ser eutélicos, i.e., todos los individuos adultos de una cierta especie tienen el mismo número de células (hasta 40,000 en algunas especies). Son ovíparos, tienen reproducción sexual, y una resistencia extrema: pueden soportar (al menos temporalmente) temperaturas de +151ºC a -271ºC, altísimas dosis de radiación, presiones de hasta 6000 atmósferas, y pueden permanecer en estado criptobiótico durante años.

Tardigrado (Hypsibius dujardini). Micrografia por Bob Goldstein

Tardígrado (Hypsibius dujardini)

El estudio de Jönsson et al. se ha realizado en el contexto de la misión Foton-M3 de la ESA, y tiene el sugerente acrónimo geek de TARDIS (Tardigrades in Space). Hay un blog en el que los investigadores dan cuenta de las novedades del proyecto. Durante 10 días dos especies de tardígrados -Richtersius coronifer y Milnesium tardigradum- han estado expuestos al vacío en una órbita terrestre baja, y a dos espectros diferentes de radiación ultravioleta (280-400nm y 116.5-400nm). Mientras que la exposición al vacío no ha parecido tener efectos en la supervivencia de los tardígrados, la exposición a la radiación UV -especialmente en el espectro más amplio- produjo una considerable mortandad en los animales. No obstante, algunos especímenes de M. tardigradum fueron capaces de sobrevivir en estas condiciones, soportando (en estado desecado) una dosis de radiación de 7000 kJ/m2.

El mecanismo por el que estos organismos son capaces de soportar estas condiciones de desecación y radiación no está claro, y se presume la existencia de algún sistema de reparación del ADN dañado. En cualquier caso, dado que estas condiciones no se presentan en la Tierra, debe concluirse que son un efecto secundario de su adaptación criptobiótica. Realmente apasionante.

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